数据结构--堆

一、堆的定义

堆是一棵完全二叉树,树中的每个结点的值都不小于(或不大于)其左右孩子结点的值。其中,如果父亲结点的值始终大于或等于孩子结点的值,那么称这样的堆为大顶堆 ,这时每个结点的值都是以它为根节点的子树的最大值;如果父节点的值始终小于或等于孩子结点的值,那么称这样的堆为小顶堆,这时每个结点的值都是以它为根节点的子树的最小值。

PS:下列所有操作针对大顶堆进行实现,如果构造小顶堆,利用相反思路即可,这里不做阐述。

二、堆的构造

那么给定一个初始序列怎么把它构造成堆呢?这里我们以构造大顶堆为例,进行演示。

假如给定一个整数序列为88、55、82、57、68、92、99、98、66、56

将他们按照树的层序从上到下、从左往右依次摆放,就得到了我们的初始堆。

从第一个非叶子结点开始,自右往左、自下往上,进行堆的调整,直至根节点为止。

对于每次访问的结点x,将结点x和它的下一级结点权值(左子树和右子树)进行比较,如果存在下一级结点的权值比结点x的大,将结点x与下一级结点中权值最大的进行交换。交换完后让结点x继续与下一级的结点进行比较,直到不存在下一级结点或者下一级结点权值都比结点x小为止。

三、堆的代码实现

我们知道堆其实是一棵完全二叉树,那么我们也很容易可以知道,在完全二叉树中,对于结点x,它的左子树是结点2*x,右子树是2*x+1。根据这个性质,我们只需要用一个数组就可以对堆进行构造,定义堆数组如下:

cpp 复制代码
int n;             //堆中结点数 
int heap[10010];   //定义堆数组

我们先根据给定初始序列建立初始堆

cpp 复制代码
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>heap[i];

接着我们要找到这个完全二叉树的第一个非叶子结点,其实就是最后一个结点n的父节点,所以第一个非叶子节点下标即为n/2。然后我们从这个结点开始往前进行遍历,直至遍历到根结点1为止。

在进行一次遍历时,对该节点进行堆的调整(向下调整),具体代码实现如下:

cpp 复制代码
//调整 
void downAdjust(int low,int high){
	int i=low,j=i*2;   //i为需要被调整的结点,j为i的左孩子结点 
	while(j<=high){     //如果存在孩子结点,继续进行调整
	if(j+1<=high&&heap[j+1]>heap[j]){
		j=j+1;  //如果右子树存在,且右子树的权值大于左子树,更新j为权值最大的子树的下标 
	} 
	if(heap[j]>heap[i])      //如果存在孩子结点的最大权值大于父节点,进行调整 
	{
		swap(heap[j],heap[i]);  
		i=j;
		j=i*2;     //更新调整结点的为止,和调整结点的新的子结点 
	}
	else break; 
   }
} 

//堆的构建,对初始堆进行调整 
void createHeap(int n){
	for(int i=n/2;i>=1;i--)
		downAdjust(i,n);     //对结点i进行向下调整 
}

完整代码实现如下:

cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'

int n;             //堆中结点数 
int heap[10010];   //定义堆数组

//调整 
void downAdjust(int low,int high){
	int i=low,j=i*2;   //i为需要被调整的结点,j为i的左孩子结点 
	while(j<=high){     //如果存在孩子结点,继续进行调整
	if(j+1<=high&&heap[j+1]>heap[j]){
		j=j+1;  //如果右子树存在,且右子树的权值大于左子树,更新j为权值最大的子树的下标 
	} 
	if(heap[j]>heap[i])      //如果存在孩子结点的最大权值大于父节点,进行调整 
	{
		swap(heap[j],heap[i]);  
		i=j;
		j=i*2;     //更新调整结点的为止,和调整结点的新的子结点 
	}
	else break; 
   }
} 

//堆的构建,对初始堆进行调整 
void createHeap(int n){
	for(int i=n/2;i>=1;i--)
		downAdjust(i,n);     //对结点i进行向下调整 
}

signed main(){
	 
   cin>>n;
   for(int i=1;i<=n;i++) cin>>heap[i];
   createHeap(n);
   for(int i=1;i<=n;i++) cout<<heap[i]<<' '; 
   	
} 

四、堆的结点增加和删除

我们都知道,在适用STL中的priority_queue构建堆的时候,可以进行结点的增加和删除,并且在增加结点和删除结点操作后,依旧保持大顶堆和小顶堆。那么在实际实现中,怎么实现上述操作呢?

1、堆的结点增加

在堆中,如果要进行结点的增加操作,一般我们将结点增加到数组的末尾,得到数据data,令heap[++n]=data。然后再向上进行调整。这里需要注意的是,在堆中增加结点时,需要向上进行结点的调整,对于新增加的结点x,将x与它的父节点进行比较,如果结点x的权值大于它的父结点 结点x/2,那么就交换两个结点,并将x的位置进行更新为x/2。然后继续向上机械能比较,如果调整到了根节点(即x/2==0)或者结点x的权值不大于父亲结点了。说明调整结束,结点增加成功。代码实现如下:

cpp 复制代码
//从high向上调整 
void upAdjust(int low,int high){
	int i=high,j=i/2;
	while(j>=low){
		if(heap[j]<heap[i]){
			swap(heap[i],heap[j]);
			i=j;
			j=i/2;
		}
		else break;
	}
}

void insert(int x){
	heap[++n]=x;
	upAdjust(1,n); 
	
}

2、堆的结点删除(删除堆顶元素)

一般进行堆的结点删除指的是删除堆顶元素,这个实现思路非常简单,就是将堆顶元素用heap[n]进行覆盖,再n--,然后再将堆顶元素向下调整。

cpp 复制代码
void deleteTop(){
	heap[1]=heap[n--];
	downAdjust(1,n);
}

3、完整代码

cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'

int n;             //堆中结点数 
int heap[10010];   //定义堆数组

//调整 
void downAdjust(int low,int high){
	int i=low,j=i*2;   //i为需要被调整的结点,j为i的左孩子结点 
	while(j<=high){     //如果存在孩子结点,继续进行调整
	if(j+1<=high&&heap[j+1]>heap[j]){
		j=j+1;  //如果右子树存在,且右子树的权值大于左子树,更新j为权值最大的子树的下标 
	} 
	if(heap[j]>heap[i])      //如果存在孩子结点的最大权值大于父节点,进行调整 
	{
		swap(heap[j],heap[i]);  
		i=j;
		j=i*2;     //更新调整结点的为止,和调整结点的新的子结点 
	}
	else break; 
   }
} 

//堆的构建,对初始堆进行调整 
void createHeap(int n){
	for(int i=n/2;i>=1;i--)
		downAdjust(i,n);     //对结点i进行向下调整 
}

//从high向上调整 
void upAdjust(int low,int high){
	int i=high,j=i/2;
	while(j>=low){
		if(heap[j]<heap[i]){
			swap(heap[i],heap[j]);
			i=j;
			j=i/2;
		}
		else break;
	}
}

void insert(int x){
	heap[++n]=x;
	upAdjust(1,n); 
	
}
void deleteTop(){
	heap[1]=heap[n--];
	downAdjust(1,n);
}
signed main(){
	 
   cin>>n;
   for(int i=1;i<=n;i++) cin>>heap[i];
   createHeap(n);
   for(int i=1;i<=n;i++) cout<<heap[i]<<' '; 
   int x;
   cin>>x;
   insert(x);
   for(int i=1;i<=n;i++) cout<<heap[i]<<' '; 
   cout<<endl;
   deleteTop();
   for(int i=1;i<=n;i++) cout<<heap[i]<<' '; 
   	
} 

/*
10
88 55 82 57 68 92 99 98 66 56
*/

五、堆排序

堆排序是指使用堆结构对一个序列进行排序。此处讨论递增排序的情况。

堆排序的思路其实就是删除堆顶元素的思路,我们可以知道,删除堆顶元素进行调整后,可以得到新的大顶堆堆顶,如果一直进行删除堆顶元素操作,得到的大顶堆堆顶序列,是不是就是我们的堆排序序列呢。(对于堆排序可以用STL priority实现,时间复杂度为O(nlogn) )。

cpp 复制代码
void heapSort(int n){
   for(int i=n;i>1;i--){  
     swap(heap[1],heap[i]);
	 downAdjust(1,i-1); 
   } 
}

假设堆里已经有元素。

cpp 复制代码
priority_queue<int> heap;
void heapSort(){
	cout<<heap.top()<<' ';
	heap.pop();
}

六、例题

L2-012 关于堆的判断 - 团体程序设计天梯赛-练习集

相关推荐
心软且酷丶18 分钟前
leetcode:479. 最大回文数乘积(python3解法,数学相关算法题)
python·算法·leetcode
里欧布鲁斯21 分钟前
Sums of Sliding Window Maximum_abc407F分析与解答
算法
倔强的石头_1 小时前
二分查找算法的概念、原理、效率以及使用C语言循环和数组的简单实现
后端·算法
QZQ541881 小时前
MIT6.824(2024春)Raft-lab3B代码分析
算法
倔强的石头_1 小时前
【数据结构与算法】深入理解 单链表
后端·算法
闫广庆2 小时前
大模型与AI智能体方向面试经验分享
算法·架构
小于小于大橙子2 小时前
强化学习的前世今生(五)— SAC算法
人工智能·算法·ai·自动驾驶·概率论·强化学习
java-zh3 小时前
redis五种数据结构详解(java实现对应的案例)
java·数据结构·redis
~山有木兮3 小时前
new和delete的理解
c++·算法
一只自律的鸡3 小时前
八N皇后问题
算法·深度优先