C题 化工厂生产流程的预测和控制
问题背景
在化工厂的生产流程中，往往涉及到多个反应釜、管道和储罐等设备。在流水线上也有每个位置的温度、压力、流量等诸多参数。只有参数处于正常范 围时，最终的产物才是合格的。这些参数很容易受到外部随机因素的干扰，所以需要实时调控。但由于参数众多，测量困难，很多参数想要及时调整并不容易，而且有很多参数之间互相关联，想要确定应当如何调控也是一个不容易解决的问题。所以在化工厂的运营过程中，人们很重视使用数学模型来对生产流程的情况进行推算和预测。理想的状态是我们只测量少数容易测量的变量，如最终产物的成分；只控制少数几个容易控制的参数，如某些原料的输入速率，通过数学模型推知反应链的整体情况并予以适当的控制。
问题分析：
（1）根据已有输入数据，建立数学模型预测输出数据（二氧化硫 SO₂ 和硫化氢 H₂S 的浓度）。
（2）基于已有的数据，预测未来（t+10 到 t+70）的输出数据是否超出阈值（SO₂ > k₁ 或 H₂S > k₂）。
（3）在预测第二问的基础上，进一步准确预测不合格事件的发生时间。
可明确使用回归分析（或机器学习预测模型）和时间序列预测的方法完成上述的三个任务。
问题解答：
数据预处理：
1）数据清洗：检查数据是否存在缺失值、异常值。
2）数据标准化/归一化：消除各变量之间量纲的影响，便于后续模型建立。
3）特征分析：观察数据中各输入变量与输出变量之间的关系，确定变量间的相关性。
数据清洗是数据预处理的关键步骤，旨在确保数据的完整性和准确性。首先，对数据集进行缺失值检查，统计结果显示所有变量（IN1、IN2、IN3、IN4、IN5、SO2、H2S）的缺失值均为0，表明数据完整，无需填充或删除操作。其次，通过箱线图分析输入和输出特征的异常值分布情况。从图中可见，部分输入特征（如IN1至IN5）和输出特征存在明显的异常值（如数值超出箱体范围或偏离中位数较远）。这些异常值可能由测量误差或数据录入错误导致，若不处理可能影响模型性能。因此，采用IQR（四分位距）法识别并剔除超出1.5倍IQR的异常值，或根据业务需求进行修正。
由于输入变量（IN1至IN5）和输出变量（SO2、H2S）的量纲和数值范围可能存在差异（如箱线图中IN1的数值范围明显大于IN3），直接建模会导致模型对量纲较大的变量过度敏感。因此，采用Z-score标准化方法，将各特征转换为均值为0、标准差为1的分布。公式为：
通过相关系数热力图分析输入与输出变量间的相关性。结果显示输入变量中，IN1与IN3的相关系数较高（0.92），可能存在多重共线性，输出变量SO2与IN1、IN3、IN5的相关系数分别为0.62、0.57、0.43，呈现中度正相关，而H2S与IN5的相关系数为-0.15，相关性较弱。通过量化分析特征间的相关性，为后续模型构建中的特征筛选奠定基础。
通过数据清洗、标准化和特征分析，原始数据被转化为高质量、无量纲且相关性明确的建模数据集。这一过程不仅提升了数据的可靠性，还为模型选择与优化提供了科学依据，最终确保预测结果的准确性和可解释性。
问题1分析：建立输入输出预测模型
问题1：假设不考虑反应过程造成的延时，请你建立合理的数学模型，根据从开始直至时刻 t 的输入数据，预测时刻 t 的输出数据。
****问题分析：****问题1关注某化工厂脱硫工艺流程中的污染控制问题。输入端有 5 种原料气体（IN1~IN5），输出端检测二氧化硫（SO₂）和硫化氢（H₂S）浓度。建立回归预测模型，根据原料输入特征，精准预测 SO₂和 H₂S 浓度值，辅助企业调控气流输入，降低污染物浓度。
1、使用输入数据（IN1~IN5）作为特征，输出数据（SO₂, H₂S）作为标签。
2、通过交叉验证（如k-fold cross-validation）选择最佳模型及其参数。
3、评估指标可选择MSE、RMSE、R²等衡量预测准确性。
1、模型构建与优化：
为对比模型性能，我们选择以下三类回归模型：
1）线性回归（Linear Regression）：基础线性模型，用于基准对照；
2）随机森林回归（Random Forest Regressor）：集成树模型，具备强大的非线性拟合能力；
3）XGBoost 回归（XGBRegressor）：基于梯度提升树的增强模型，适合处理复杂结构数据。
超参数优化方面，对于树模型，采用 5 折交叉验证与 GridSearchCV 搜索最优参数。
均方误差（MSE）：
|------|---------|--------|--------|------------------------------------------|
| 目标变量 | 模型名称 | MSE | R² | 最优参数 |
| SO2 | 随机森林 | 0.1772 | 0.7880 | {'max_depth': None, 'n_estimators': 150} |
| SO2 | XGBoost | 0.2176 | 0.7396 | {'max_depth': 5, 'n_estimators': 150} |
| SO2 | 线性回归 | 0.4082 | 0.5115 | N/A |
| H2S | 随机森林 | 0.3206 | 0.6085 | {'max_depth': None, 'n_estimators': 150} |
| H2S | XGBoost | 0.3531 | 0.5687 | {'max_depth': 5, 'n_estimators': 150} |
| H2S | 线性回归 | 0.6243 | 0.2375 | N/A |
对比每种模型的预测值与实际值之间的拟合效果，随机森林在两个输出变量上拟合度最高；线性模型拟合效果最差，受非线性影响明显；XGBoost 拟合度适中但存在过拟合倾向。
从模型的残差分布图可以看出，随机森林与 XGBoost 的残差接近正态分布，说明模型拟合较稳定，无明显偏差；而线性回归在 SO2 和 H2S 的预测上残差较分散，性能较弱。
预测-实际散点图显示：随机森林与 XGBoost 均能较好地拟合 SO2 和 H2S 的分布趋势，特别是 SO2 的拟合度明显高于 H2S，表明 H2S 的建模难度更大。
预测趋势图中可以看出，随机森林能够较好地跟踪污染物浓度的变化趋势。
特征重要性图显示：IN1 对 SO2 的影响最为显著，是工艺调控的重要指标。
问题2分析：阈值预测模型构建
问题2：如果输出的二氧化硫的量大于某个阈值k₁或硫化氢的量大于某个阈值k₂，那么输出产物就被视为不合格的。我们希望根据从开始直至时刻t的输入数据和输出数据，预测在t + 10到 t + 70个时间单位之间的输出数据是否会出现不合格的问题。请你建立合理的数学模型完成这项工作，阈值k₁和k₂可以根据模型的性能自行设定，而我们希望在保证预测正确率的前提下，阈值尽可能小。
1、确定阈值k₁与k₂：结合预测模型的性能，迭代寻找能保证准确性且最小的k₁和k₂（可以初始设定为历史数据的某一分位数或最大最小值）。
2、数据构建方法：以t时刻为基准，利用之前的数据特征预测(t+10)到(t+70)的数据。
每条样本特征维度： 70（来自过去 10 个时间步的 IN1~IN5 和 SO2、H2S，共 10×(5+2)），标签定义： 若在未来 t+10 到 t+70 中 SO2 > 0.7 或 H2S > 0.7，则视为"不合格"，标签为 1。数据存在明显不平衡（正负样本比例 ≈ 8:1），适合使用支持不平衡分类的模型（如 XGBoost、LightGBM）；
