矩阵平衡(Matrix Balancing)

矩阵平衡(Matrix Balancing)是一种通过相似变换改善矩阵条件数的技术,旨在加速迭代求解的收敛并提高数值稳定性。以下是关键算法实现及步骤详解:


1. 对角缩放法(Diagonal Scaling)

核心思想:通过左乘和右乘对角矩阵 ( D ) 和 ( D^{-1} ) 对矩阵 ( A ) 进行平衡,使得变换后矩阵 ( B = DAD^{-1} ) 的行和列范数接近。

算法步骤

  1. 计算缩放因子
    • 对每行 ( i ),计算 ( d_i = \sqrt{|A_{i,:}|1 / |A{:,i}|_1} )(即行和与列和的几何平均)。
  2. 构造对角矩阵
    • ( D = \text{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n) )。
  3. 应用变换
    • 平衡后的矩阵 ( B = DAD^{-1} )。

特点

  • 保持对称性(若 ( A ) 对称,( B ) 仍对称)。
  • 适用于非对称矩阵,显著降低条件数。

2. Sinkhorn-Knopp 算法

目标:使矩阵的双随机性(行和与列和均为1)最大化,适用于非负矩阵。

迭代步骤

  1. 交替缩放行和列:
    • 行缩放:( A_{ij} \leftarrow A_{ij} / \sum_k A_{ik} )(使每行和为1)。
    • 列缩放:( A_{ij} \leftarrow A_{ij} / \sum_k A_{kj} )(使每列和为1)。
  2. 重复直至收敛(行和列和接近1)。

应用场景

  • 概率转移矩阵、图像处理中的归一化。

3. Parlett-Reinsch 算法(对称矩阵平衡)

步骤

  1. 计算对称矩阵 ( A ) 的按行/列无穷范数。
  2. 通过对角变换 ( DAD^{-1} ) 使行列范数均衡。

优势

  • 保持特征值不变,优化条件数 ( \kappa_2(A) )。

4. 分块平衡(Block Balancing)

适用场景 :大型稀疏矩阵或分块矩阵。
方法

  • 对每个对角块独立应用对角缩放,全局协调缩放因子。

5. 基于特征值的平衡(LAPACK 实现)

LAPACK 例程xGEBAL(如 DGEBAL for double precision)
步骤

  1. 计算行列缩放因子,避免溢出。
  2. 可选左/右缩放或同时缩放。
  3. 通过置换进一步优化数值稳定性。

输出

  • 缩放后的矩阵 ( B ) 和缩放因子 ( D ),可用于后续求解(如 xGESV)。

效果评估

  • 条件数改善:平衡后 ( \kappa(B) \ll \kappa(A) )。
  • 加速迭代法:如共轭梯度法(CG)、GMRES 的收敛步数减少。
  • 数值稳定性:避免病态矩阵导致的浮点误差放大。

代码示例(Python)

python 复制代码
import numpy as np
from scipy.linalg import balance

# 生成病态矩阵
A = np.array([[1e6, 1], [1, 1e-6]])

# 平衡矩阵
B, D = balance(A, scale=True)  # D 为对角缩放矩阵

print("原矩阵条件数:", np.linalg.cond(A))
print("平衡后条件数:", np.linalg.cond(B))

总结

  • 密集矩阵 :优先使用 LAPACK 的 xGEBAL
  • 非负矩阵:Sinkhorn-Knopp 适合双随机化。
  • 对称矩阵:Parlett-Reinsch 算法保持结构。
  • 稀疏矩阵:分块平衡或迭代缩放。

平衡技术虽增加预处理开销,但能显著提升求解效率,尤其适合病态系统的迭代法和直接法(如 LU 分解)。

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