数据结构图论基础知识（一）

文章目录

[1. 图的基本概念](#1. 图的基本概念)
[2. 图的一些现实的应用](#2. 图的一些现实的应用)
- [2.1 ABCDE各个城市之间的关系](#2.1 ABCDE各个城市之间的关系)
- [2.2 社交关系](#2.2 社交关系)
[3. 图的存储结构](#3. 图的存储结构)
- 3.1邻接矩阵
- [3.2 邻接矩阵的实现](#3.2 邻接矩阵的实现)
- [3.3 邻接表](#3.3 邻接表)

1. 图的基本概念

（graph）图由边（edge）和顶点（Vertex）构成
图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构 ：G = (V， E)，其中：顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合
E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。
图更关注元素与元素之间的关系
图分为有向图和无向图
二叉树也是图吗？
树是一种特殊的（无环联通图）图，但是图不一定是树，再者树关心的是节点中存的值，图关注的是顶点和边的权值

2. 图的一些现实的应用

2.1 ABCDE各个城市之间的关系

顶点：城市
边：城市之间的关系（比如它们之间的距离，到达的时间，）
保证联通情况下的最小开销，D点要到达B点的最小距离就可以是一个最小生成树的问题
最小生成树：用最小的代价，把图中的两个点间接地连在一起

2.2 社交关系

顶点：人
边：表示两个人是好友
权值：可以表示两个人之间的亲密度
qq，微信等都是无向图，是强社交关系 ：表示两个人互相都是好友
微博，抖音等都是有向图 ，是社交媒体关系，是弱社交关系：我可以关注喜欢的博主，但是博主不一定关注了我

3. 图的存储结构

3.1邻接矩阵

因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。

2. 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。
3. 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，则使用无穷大代替。

4. 用邻接矩阵存储图的好处 是能够快速知道两个顶点是否连通O(1)，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路径不是很好求，不适合查找一个顶点所连接的所有边O(N)，比如查找3这个顶点的所有边，要看0，1，2，3是否为1，也就是要查找N次

3.2 邻接矩阵的实现

cpp 复制代码

#pragma once

#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
#include<map>
using namespace std;

// 邻接矩阵
namespace matrix
{
	// 无向图,V顶点,W边
	template<class V,class W,W MAX_W = INT_MAX,bool Direction = false>
	class Graph
	{
	public:
		// 图创建的方式：
		// 1.io输入,不方便测试,oj测试比较方便
		// 2.图的结构写到文件中,读取文件
		// 3.手动添加边,方便测试

		// 图的初始化
		Graph(const V* a, size_t n)// 传一个顶点相关的集合进行初始化
		{
			// 顶点的集合
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; i++)
			{
				_vertexs.push_back(a[i]);
				_indexMap[a[i]] = i;
				// 顶点和下标的映射
			}
			
			_matrix.resize(n);
			for (int i = 0; i < _matrix.size(); i++)
			{
				_matrix[i].resize(n,MAX_W);
			}
		}

		// 获取顶点的下标,检查顶点是否是错误的
		size_t GetVertexIndex(const V& v)
		{
			auto it = _indexMap.find(v);
			if (it != _indexMap.end())
			{
				return it->second;
			}
			else
			{
				// 抛异常
				throw invalid_argument("顶点不存在");

				return -1;
			}
		}

		// 给序号为两个节点的添加边(权值)
		void AddEdge(const V& src,const V& dst,const W& w)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
			_matrix[srci][dsti] = w;

			// 无向图需要添加两个有关联的边
			if (Direction == false) _matrix[dsti][srci] = w;
		}

		// 打印
		void Print()
		{
			// 顶点
			for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
			{
				cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << '\n';
			}
			cout << '\n';

			cout << "  ";
			// 横着的下标
			for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
			{
				cout << i << " ";
			}
			cout << '\n';

			// 邻接矩阵
			for (int i = 0; i < _matrix.size(); i++)
			{
				// 竖着的下标
				cout << i << " ";
				for (int j = 0; j < _matrix[i].size(); j++)
				{
					if (_matrix[i][j] == MAX_W)
					{
						cout << "*" << " ";
					}
					else
						cout << _matrix[i][j] << " ";
				}
				cout << '\n';
			}
		}
         
	private:
		vector<V> _vertexs;// 顶点集合
		map<V, int> _indexMap;// 顶点映射下标
		vector<vector<W>> _matrix;// 邻接矩阵
	};

	void TestGraph()
	{
		char vertices[] = { '0', '1', '2', '3' };  // 显式传入 char 数组
		Graph<char, int, INT_MAX, true> g(vertices, 4);
		g.AddEdge('0', '1', 1);
		g.AddEdge('0', '3', 4);
		g.AddEdge('1', '3', 2);
		g.AddEdge('1', '2', 9);
		g.AddEdge('2', '3', 8);
		g.AddEdge('2', '1', 5);
		g.AddEdge('2', '0', 3);
		g.AddEdge('3', '2', 6);

		g.Print();
	}
}

#include"Graph.h"
using namespace std;

int main()
{
	matrix::TestGraph();

	return 0;
}

3.3 邻接表

邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。
1.无向图邻接表存储

有向图邻接表存储，一般情况下，存储一个出边表即可，主要是为了找到一个顶点连接出去的路径有哪些

总结一下，邻接矩阵和邻接表是相辅相成的关系，各有优缺点，两者具有互补的关系