1.数的划分
题目描述
将整数 nn 分成 kk 份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。
例如：n=7，k=3n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。
1，1，5;1，5，1;5，1，1;1，1，5;1，5，1;5，1，1;
问有多少种不同的分法。
输入描述
输入一行，22 个整数 n,k (6≤n≤200，2≤k≤6)n,k (6≤n≤200，2≤k≤6)。
输出描述
输出一个整数，即不同的分法。
输入输出样例
示例 1
输入
7 3输出
4递归解题思路
看到"整数分拆"问题，直接想到"递归"
递归的核心思想：将大问题分解为小问题，通过解决小问题来构建大问题的解。
递归的终止条件：
-
当
n或m为 0，或者n小于m时，分拆方式数量为 0。 -
当
m为 1 或n等于m时，分拆方式数量为 1。
递归的分解逻辑：
-
不选1的情况 ：将每个数字减去1，问题转化为
f(n - m, m)。 -
选1的情况 ：其中一个数字是1，问题转化为
f(n - 1, m - 1)。
最终结果是两种情况的和：f(n - m, m) + f(n - 1, m - 1)。
解题步骤模板：
public static int f(int n, int m) {
// 边界条件
if (n == 0 || m == 0 || n < m) {
return 0;
}
if (m == 1 || n == m) {
return 1;
}
// 递归逻辑
else {
return f(n - m, m) + f(n - 1, m - 1);
}
}示例代码模板：
import java.util.Scanner;
public class Main {
// 递归函数，用于计算将整数 n 分成 m 份的方式数
public static int f(int n, int m) {
// 边界条件：当 n 或 m 为 0，或者 n 小于 m 时，分拆方式数量为 0
if (n == 0 || m == 0 || n < m) {
return 0;
}
// 当 m 为 1 或 n 等于 m 时，分拆方式数量为 1
if (m == 1 || n == m) {
return 1;
}
// 递归逻辑：
// 1. 不选1的情况：将每个数字减去1，问题转化为 f(n - m, m)
// 2. 选1的情况：其中一个数字是1，问题转化为 f(n - 1, m - 1)
// 总分拆方式数量为两者的和
else {
return f(n - m, m) + f(n - 1, m - 1);
}
}
// 主函数，程序入口
public static void main(String[] args) {
// 创建 Scanner 对象，用于读取用户输入
Scanner sc = new Scanner(System.in);
// 读取用户输入的整数 n
int n = sc.nextInt();
// 读取用户输入的整数 k
int k = sc.nextInt();
// 调用递归函数 f(n, k)，计算分拆方式数量
// 输出结果
System.out.println(f(n, k));
}
}思维导图：
训练方法：
-
理解递归思想：仔细阅读代码，确保理解递归的终止条件和递归逻辑。
-
手算小例子 ：选择一个小的例子（如
n = 4，m = 2），手动计算递归调用的过程，然后用代码验证结果。 -
调试和优化：观察递归调用的深度和次数，尝试用记忆化技术优化代码，避免重复计算。
-
扩展应用：将代码逻辑应用到其他类似问题，如"将整数分成任意多份"的问题
2.数的计算
题目描述
输入一个自然数 n (n≤1000)n (n≤1000)，我们对此自然数按照如下方法进行处理:
-
不作任何处理;
-
在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数的一半;
-
加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止。
问总共可以产生多少个数。
输入描述
输入一个正整数 nn。
输出描述
输出一个整数，表示答案。
输入输出样例
示例 1
输入
6输出
6递归解题思路
看到"整数分拆"问题，直接想到"递归"
递归的核心思想：将大问题分解为小问题，通过解决小问题来构建大问题的解。
递归的终止条件：当 n == 1 时，分拆方式数量为 1。
递归的分解逻辑：通过遍历从1到n/2的数i，每次将当前数i分拆，并递归计算i的分拆方式。
解题步骤模板：
public static void f(int n) {
// 递归终止条件
if (n == 1) {
return;
}
// 遍历 i 从 1 到 n/2，计算分拆方式
for (int i = 1; i <= n / 2; i++) {
// 每次分拆时，增加结果计数
res++;
// 递归计算更小的整数 i 的分拆方式
f(i);
}
}示例代码模板：
import java.util.Scanner;
public class Main {
// 全局变量，用于存储最终结果
static int res = 1;
// 递归函数，用于计算整数 n 的分拆方式数量
public static void f(int n) {
// 递归终止条件：当 n == 1 时，分拆方式数量为 1
if (n == 1) {
return;
}
// 遍历 i 从 1 到 n/2，计算分拆方式
for (int i = 1; i <= n / 2; i++) {
// 每次分拆时，增加结果计数
res++;
// 递归计算更小的整数 i 的分拆方式
f(i);
}
}
// 主函数，程序入口
public static void main(String[] args) {
// 创建 Scanner 对象，用于读取用户输入
Scanner sc = new Scanner(System.in);
// 读取用户输入的整数 n
int n = sc.nextInt();
// 调用递归函数 f(n)，计算分拆方式数量
f(n);
// 输出最终结果
System.out.println(res);
}
}思维导图：
训练方法：
-
理解递归思想：仔细阅读代码，确保理解递归的终止条件和递归逻辑。
-
手算小例子 ：选择一个小的例子（如
n = 4），手动计算递归调用的过程，然后用代码验证结果。 -
调试和优化：观察递归调用的深度和次数，尝试用记忆化技术优化代码，避免重复计算。
-
扩展应用：将代码逻辑应用到其他类似问题，如"将整数分成特定数量的份"或"将整数分成不相等的份"的问题。
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