【本节目标】
- 树概念及结构
- 二叉树概念及结构
1.树概念及结构
1.1树的概念
树是一种
非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。树是递归定义的。因为任何一颗树都可以看做是根和他的子树构成。
注意： 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
1.2 树的相关概念
- 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
- 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
- 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
- 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
- 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
- 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
- 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
- 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
- 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
- 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
- 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
- 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
- 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林
1.3 树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
c
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};
2.二叉树概念及结构
2.1概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合
或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
2.2二叉树的特点
- 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
- 二叉树的子树有左右之分 ，其子树的次序不能颠倒。
2.3 特殊的二叉树
满二叉树 ：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到
最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1（2的k次方减一） ，则它就是满二叉树。
完全二叉树 ：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由
满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.4 二叉树的性质
🖋️🖋️🖋️下面我们做几道题目来巩固一下吧
- 某二叉树共有
399个结点，其中有199个度为2的结点，则该二叉树中的叶子结点数为 （ B ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
🧐🧐分析：这里根据上面的公式n。也就是叶子结点数等于度为2 的结点数+1，所以就是199+1=200
- 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为 （ A ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
🧐🧐分析：假设叶子结点数为x，那么度为2的结点数为x-1；由于根据完全二叉树的图我们可以知道其中最多 有一个度为1的结点，所以可能是X+X-1+1=2n；也可能是x+x-1=2n;很明显这里是要加上这个1的，因为(2n+1)/2是除不尽的，所以为x=2n/2=n
- 一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为 （ B ）
A 11
B 10
C 8
D 12
🧐🧐分析：假设这个树的高度是h，根据满二叉树总的结点公式（因为完全二叉树就是满二叉树最后一行少几个且至少留一个，不能全部没有）2^k-1；所以2^h-1-x=531（假设x为要比满二叉树少的个数），然后根据满二叉树最后一行结点公式为2^(k-1)，所以可知x的 取值范围为[0,2^(h-1)-1]；（减0表示就是满二叉树，2^(h-1)-1表示至少减去留有一个结点。
然后去一个个套，假设h=10；2^10-1-x=531；x=492;然后 x 的范围是[0,511]，x在这个范围内，所以h=10;
- 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为 （ B ）
A 383
B 384
C 385
D 386
🧐🧐分析：假设叶子结点个数为x；那么度为2的结点数为x-1；然后度为1的结点数最多为1；所以有两种情况：x+x-1+1=767或者x+x-1=767；根据结果要为整数我们可以知道是第二种情况，所以结果为768/2=384；
最后一个h的推导如下：
❗❗❗注意：上面那个完全二叉树的高度求的是两个极端的情况
2.5 二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
- 顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
- 链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程
学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。
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本章到这里就结束啦~
友友们：
我们下期见~