了解二分算法
二分查找，想必多多少少有一点了解了，我们了解的二分查找算法：当一个数组有序的时候，我们可以使用二分算法来查找一个值；
直接比较mid(
(left + right)/2)和我们要查找的值target；如果nums[mid] > target就在右边查找，否则在左边查找。
但是二分查找真的如此简单吗？在什么时候才能使用二分查找呢？
使用二分查找的条件：
数组有序；其实本质是是利用二段性；简单来说，将数组分为；两个区间，一个区间内是满足某个条件；而另一个区间是满足其相反的条件的。
现在我们来通过了解二分查找的算法题，来深入探究二分查找，以及什么时候能够使用二分查找。
一、二分查找
题目解析
这道题，想必之前已经见到过了；
给定一个数组
nums和一个值target，让我们在nums数组中查找target，如果存在就返回下标；否则返回-1。
算法思路
对于这道题，我们可以使用暴力查找：让target和数组nums中所有元素一个一个比较；
暴力解法时间复杂度为O(n)；从效率上来说也是非常不错的；
但是暴力解法并没有使用到我们数组有序这一个条件；
我们这里想一下，当我们暴力查找到一个位置
mid时，区间[0,mid-1]内的值是不是都是小于mid位置的值的；区间[mid+1,n]内的值是不是都是大于mid位置的值的。简单来说就是：我们任取一个位置，这个位置的值为
x；这个位置左边区间的值都是小于x的，右边区间的值都是大于x的。那我们是不是就可以将区间划分为两部分：
- 左边区间的值都是小于
x的- 右边区间的值都是大于
x的这样我们任取一个位置，如果这个位置的值
x大于我们要找的值target，那就去这个位置左边区间再去找target；如果这个位置的值
x大于我们要找的值target，那就去这个位置右边区间内再去找target。
那我们大致就理解了如何去找target；但是我们可以取二分点也可以取三分点、四分点...，那如何去取mid呢？
这里就不叙述这个问题了，我们取二分点的效率是最高的。
二分整体思路：
首先定义
left、right分别指向区间的开始位置和结束位置。取
mid（mid = (left + right)/2）比较
mid位置和要查找的值target：如果
nums[mid] > target，就去左边区间找，right = mid - 1；如果
nums[mid] < target，就去右边区间找，left = mid + 1；如果
nums[mid] == target，找到了我们要查找的值，返回结果。查找结束还没有返回结果（
left和right错过去了，那就表示数组中不存在target）。
这里需要注意：
**循环结束的条件：**我们
left和right指向的位置都是没有查找过的位置，所以当left > right时，循环才能结束。**取
mid：**这里如果数组过大，left + right就可能超出数据范围，我们使用left + (right - left)/2或者left +(right - left + 1)/2来计算；但是有一个问题，对于数组内数据个数是奇数时，这两种计算方式没有什么影响；但如果数组中数据个数是偶数时，第一种left + (right - left)/2求的mid是偏左的，而left + (right - left +1)/2求出的mid是偏右的。在这道题中我们感受不到这两种求法的差别，在下面题目中我们就能感受到这两种求法的差别了。
代码实现
cpp
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0, right = nums.size() - 1;
while (left <= right) {
// int mid = (left+right)/2;
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] > target)
right = mid - 1;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1;
else
return mid;
}
return -1;
}
};二、在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
题目解析
这道题和上面那一道题不同，上一道题目在
nums数组中只存在应该target，而这道题目中可能存在多个target；我们需要找到多个
target的起始位置和结束位置。如果数组中不存在
target就返回-1,-1。
算法思路
首先还是来看暴力解法：从左到右遍历数组，遇到target，就记录target起始位置，然后继续向后遍历直到某个位置的值不等于target；
如果数组中不存在target，那暴力解法最坏情况下的时间复杂度为O(n)。
那现在我们来想如何使用二分查找来解决这个问题：
这里相信有人和博主一样，先利用二分查找查找到
target的某一个位置，然后向左和向右遍历查找target出现的起始位置和结束位置；但是如果数组中的数据都是target，那我们不也是要查找完整个数组，时间复杂度也是O(n)；
这里我们就不使用上面二分算法划分区间的方法了，因为我们这里target不一定只出现一次，我们找到target时不能直接返回，因为我们不确定是否还存在其他target；
这里我们要查找的是target的起始位置和结束位置，说白了就是左边界和右边界。
二分算法查找左边界：
这里我们查找到
target不能直接返回，那就试着将nums[mid] == target划分到左边或者右边的情况；简单来说就是这里要找的是大于等于
t区间的左边界，我们将数组划分成两部分：
- 左边区间内的值都是小于
target的。- 右边区间内的值都是大于等于
target的。这样我们在使用二分查找时：
- 如果
nums[mid] < target，那就可以直接舍去[left , mid-1]和mid位置的（left = mid + 1）；- 如果
nums[mid] >= target，我们的mid位置的值可能等于target，所以我们只能舍去区间[mid + 1 , right]；（right = mid）（这里我们要找的是左边界，如果mid位置的值是等于mid+1位置的值时，我们是可以舍去mid+1位置的）这里我们要求的是大于等于
target区间的左边界，所以划分成小于x和大于等于x的两个区间
这里要注意：
**循环结束条件：**这里我们当
left == right时，循环就结束了；所以循环的条件是left < right而不是left <= right。
这里
left == right时是不需要判断的，因为此时就是最终结果：数组中存在大于等于
target的区间，也存在小于target的区间，此时left和right相等时指向的就是大于等于target区间左端点的位置数组中如果所有数都大于等于
target，此时right最终会指向left的位置也就是数组的起始位置，也是大于等于target区间的左端点的位置。数组中如果所有数都小于
target，此时left最终最指向left的数组的结束位置，也就是right；如果
left == right判断了，可能会陷入死循环因为这里当
nums[mid] >= target时，right = mid；这样如果最后left和right指向的位置是大于等于target的，求出的mid是等于left和right的，那此时就会陷入死循环。求
mid的值：在上面朴素的二分查找算法中，我们利用哪一种求法都可以，但是在这里就不一样了；
如果数据个数是偶数个，利用
mid = left + (right - left)/2求出的mid是偏左的；利用mid = left + (right - left + 1)/2求出来的mid是偏右的；这里我们要找的是区间的左边界，我们要使用
mid = left + (right - left)/2来求mid。因为最后如果
left和right指向两个相邻的位置(left + 1 = right)，利用第一种方法求出来的mid是等于left的；利用第二章方法求出来的mid是等于right的；如果我们
right位置的值的大于等于target的，如果求出的mid是等于right的，此时就会陷入死循环；（因为nums[mid] >= target时，right = mid）
二分算法查找右边界：
和查找左边界类似：
我们要查找的是小于等于
target区间的有边界，我们可以根据要查找的位置将数组划分成两部分：
- 左边区间内的值都是小于等于
target的- 右边区间内的值都是大于
target的在二分查找的过程中：
- 如果
nums[mid] <= target，mid位置可能就是最终要查找的结果，所以只能舍去区间[left , mid-1]（left = mid）；（这里查找的是区间的右边界，所以即使mid-1位置的值等于mid位置的值，也是直接可以舍去的）- 如果
nums[mid] > target，区间[mid , right]内的值都是大于target的，可以舍去区间[mid , right]（right = mid - 1）。这里我们要查找的是小于等于
target区间的右边界所以划分为：小于等于target和大于target两区间
这里也要注意：
循环条件 是
left < right而不是left<=right。求
mid：在求左边界时使用的是
mid = left + (right - left)/2，这样在偶数个数据时求的是偏左位置的；这里我们要使用
mid = left + (right - left + 1)/2，这样当数组在数据个数是偶数个时，求出的mid是偏右的。因为最后如果
left和right指向两个相邻的位置(left + 1 = right)，利用第一种方法求出来的mid是等于left的；利用第二章方法求出来的mid是等于right的；如果我们
left位置的值的小于等于target的，如果求出的mid是等于left的，此时就会陷入死循环；（因为nums[mid] <= target时，left = mid）
代码实现
cpp
class Solution {
public:
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
//数组为空
if(nums.empty()) return {-1,-1};
int n = nums.size();
int begin = 0,end = 0;
//求大于等于target区间的左边界
int left = 0,right = n-1;
while(left < right)
{
int mid = left + (right - left)/2;
if(nums[mid] >= target) right = mid;
else left = mid + 1;
}
//判断是否存在target
if(nums[left] != target) return {-1,-1};
begin = left;
//求小于等于target区间的右边界
left = 0,right = n-1;
while(left < right)
{
int mid = left + (right - left + 1)/2;
if(nums[mid] <= target) left = mid;
else right = mid -1;
}
end = right;
return {begin,end};
}
};简单总结
这里两道题，算是最基本的二分算法题，我们一定要理解，理解之后在之后的二分算法题目再深入探究二分算法。