【算法笔记】贪心算法

一、什么是贪心算法？

贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前看起来最优（最"贪心"）的策略，从而希望得到全局最优解的算法设计思想。

核心思想：每一步都做出局部最优选择，不回退。
适用场景 ：问题具有最优子结构 且满足贪心选择性质 ------ 即局部最优可以导出全局最优。

二、贪心算法的典型流程

排序/预处理：对待选元素进行必要的排序或组织。
局部选择：按照某种规则（如最大收益、最小代价等）依次选取元素。
可行性检验：检查当前选择是否满足约束。
解的构造：在每次选择的基础上逐步构建最终解。

三、经典例题回顾

1. 活动选择问题

题目：有 n n n 个活动，每个活动有开始时间 s i s_i si 和结束时间 f i f_i fi，要求选出最多互不冲突的活动集合。
贪心策略：按活动结束时间从小到大排序，每次选取结束最早且与当前已选活动不冲突的活动。

2. 分数背包问题（Fractional Knapsack）

题目：有 n n n 件物品，每件物品重量 w i w_i wi，价值 v i v_i vi，背包容量 W W W。物品可分割装入。
贪心策略 ：按单位重量价值 v i w i \frac{v_i}{w_i} wivi 从大到小装入；装不下时装入尽可能多的部分。

3. 最小生成树（Kruskal 算法）

题目：给定带权无向图，求一棵权值之和最小的生成树。
贪心策略：对所有边按权值从小到大排序，依次加入不会形成环的最小边。

四、实战题目 ------ 给 n n n 个国家加税

4.1 题目描述

有 n n n 个国家，初始关税税率均为 100%。
对第 i i i 个国家，加税一次可将其税率提升 p i % p_i\% pi%（即税率从上一次的值再加上 p i p_i pi 百分点）。
允许一共进行 k k k 次加税操作，每次只能选择一个国家进行一次加税。
求经过 k k k 次加税后，所有国家税率的累乘（乘积）的最大值。

示例

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输入：n = 3, p = [2, 5, 3], k = 4  
输出：最大乘积（按百分比计算）

4.2 贪心思路分析

收益定义

对第 i i i 个国家当前税率 t i t_i ti（最开始 t i = 100 % t_i=100\% ti=100%）再加一次 p i % p_i\% pi%，其新的税率为 t i + p i t_i + p_i ti+pi。
在乘积中，相当于将当前乘积乘以 t i + p i t i \frac{t_i + p_i}{t_i} titi+pi，因此这次操作对总乘积的放大倍数为：

r i = t i + p i t i = 1 + p i t i r_i = \frac{t_i + p_i}{t_i} = 1 + \frac{p_i}{t_i} ri=titi+pi=1+tipi

要使乘积最大，每次都应选择能带来最大放大倍数 r i r_i ri 的国家。

优先队列实现

使用一个最大堆 （priority_queue）存储每个国家当前可获得的放大倍数 r i r_i ri。
每次取出堆顶（ r i r_i ri 最大的国家），实施一次加税：
1. 更新该国家税率： t i ← t i + p i t_i \leftarrow t_i + p_i ti←ti+pi。
2. 计算新的放大倍数： r i ← 1 + p i t i r_i \leftarrow 1 + \frac{p_i}{t_i} ri←1+tipi。
3. 将更新后的 r i r_i ri 重新压入堆中。
重复上述过程 k k k 次，结束后遍历所有国家税率，计算乘积。

4.3 代码示例（C++）

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<double> p(n), t(n, 100.0);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> p[i];
    }

    // 优先队列：pair<放大倍数, 国家索引>
    auto cmp = [](const pair<double,int>& a, const pair<double,int>& b) {
        return a.first < b.first;
    };
    priority_queue<pair<double,int>, vector<pair<double,int>>, decltype(cmp)> pq(cmp);

    // 初始化
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double r = 1.0 + p[i] / t[i];
        pq.push({r, i});
    }

    // 执行 k 次加税
    while (k--) {
        auto [r, i] = pq.top(); pq.pop();
        t[i] += p[i];
        r = 1.0 + p[i] / t[i];
        pq.push({r, i});
    }

    // 计算累乘结果
    double ans = 1.0;
    for (double tax : t) {
        ans *= tax / 100.0;
    }
    cout << fixed << setprecision(6) << ans << "\n";
    return 0;
}

4.4 复杂度分析

每次操作：弹出堆顶 + 插入堆顶，各 O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn)。
总共 k k k 次操作，时间复杂度为： O ( k log ⁡ n ) O(k \log n) O(klogn)。
空间复杂度：需要存储 n n n 个国家的信息，为 O ( n ) O(n) O(n)。

五、更多贪心练习题推荐

区间染色问题：给定区间集合，最少使用多少种颜色使重叠区间不同色？
跳跃游戏 II：每格有最大跳跃长度，求最少跳跃次数到达末尾。
分配饼干：孩子有满足度，饼干有大小，如何让最多孩子满足？
连通区间合并：给一堆区间，合并所有重叠区间，输出不重叠区间集合。

六、小结

贪心算法以"当前最优选择"逐步构建解，适合于"最优子结构"且满足"贪心选择性质"的问题。
真正的难点在于如何证明局部最优能导出全局最优 ，以及如何设计合适的贪心策略。
通过上述"加税"题，以及经典例题的练习，可以加深对贪心算法的理解与应用。