每日c/c++题备战蓝桥杯(洛谷P1387 最大正方形)

洛谷P1387 最大正方形题解

题目描述

给定一个 n × m n \times m n×m 的01矩阵，要求找出其中全由1组成的最大正方形的边长。

输入格式

第一行两个整数 n , m n, m n,m

接下来 n n n 行每行 m m m 个0或1的数，表示矩阵

输出格式

输出最大正方形的边长

数据范围
1 ≤ n , m ≤ 100 1 \leq n, m \leq 100 1≤n,m≤100

解题思路

错误代码分析（DFS解法）

用户提供的DFS代码存在逻辑错误，主要问题如下：

递归方向错误：DFS应向四个方向扩展，但代码仅向右下扩展，无法覆盖所有可能情况
状态管理混乱 ：使用全局变量x1和yy记录起点，在递归过程中会被覆盖
边界判断缺失：未正确处理矩阵边界情况
时间复杂度高 ：最坏情况时间复杂度为 O ( n 2 m 2 ) O(n^2m^2) O(n2m2)，会超时

正确解法：动态规划（DP）

核心思想 ：

用dp[i][j]表示以(i,j)为右下角的最大正方形边长。当matrix[i][j] == 1时：
d p [ i ] [ j ] = min ⁡ ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] , d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] ) + 1 dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1 dp[i][j]=min(dp[i−1][j],dp[i][j−1],dp[i−1][j−1])+1

状态转移解释 ：

当前格子能构成的正方形边长由上方、左方、左上方三个方向的最小值决定，这保证了正方形的完整性。

边界条件：

当i=0或j=0时，dp[i][j] = matrix[i][j]（第一行/列单独处理）

代码实现（优化版）

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    vector<vector<int>> matrix(n+1, vector<int>(m+1));
    vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(m+1, 0));
    int max_side = 0;

    // 输入处理（从1开始索引）
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        for(int j = 1; j <= m; ++j) {
            cin >> matrix[i][j];
        }
    }

    // 动态规划求解
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        for(int j = 1; j <= m; ++j) {
            if(matrix[i][j] == 1) {
                dp[i][j] = min({dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]}) + 1;
                max_side = max(max_side, dp[i][j]);
            }
        }
    }

    cout << max_side << endl;
    return 0;
}

算法分析

时间复杂度 ： O ( n m ) O(nm) O(nm)，只需遍历矩阵一次
空间复杂度 ： O ( n m ) O(nm) O(nm)，可优化至 O ( m ) O(m) O(m)（滚动数组）
正确性证明：通过数学归纳法可证明状态转移方程的正确性

优化技巧

空间优化 ：使用滚动数组将空间复杂度降至 O ( m ) O(m) O(m)
提前终止：当剩余空间不足以超过当前最大值时提前终止
输入优化：使用快速读入处理大数据

示例演示

输入样例：

复制代码

处理过程：

初始化dp数组全为0
遍历到(1,2)时，dp[1][2]=1
遍历到(2,2)时，dp[2][2]=min(0,1,0)+1=1
遍历到(2,3)时，dp[2][3]=min(1,1,0)+1=1
最终在(4,4)处得到最大边长3

输出：