本章系统讲解随机变量的数字特征理论，涵盖期望、方差、协方差与相关系数的核心计算与性质。以下从四个核心考点系统梳理知识体系：
考点一：期望（数学期望）
1. 离散型随机变量的数学期望
- 一维情形 ：
E ( X ) = ∑ i = 1 ∞ x i p i E(X) = \sum_{i=1}^\infty x_i p_i E(X)=i=1∑∞xipi - 一维函数 ：
E g ( X ) = ∑ i = 1 ∞ g ( x i ) p i Eg(X) = \sum_{i=1}^\infty g(x_i) p_i Eg(X)=i=1∑∞g(xi)pi - 二维函数 ：
E g ( X , Y ) = ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ g ( x i , y j ) p i j Eg(X,Y) = \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty g(x_i, y_j) p_{ij} Eg(X,Y)=i=1∑∞j=1∑∞g(xi,yj)pij
2. 连续型随机变量的数学期望
- 一维情形 ：
E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx - 一维函数 ：
E g ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ g ( x ) f ( x ) d x Eg(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) dx Eg(X)=∫−∞+∞g(x)f(x)dx - 二维函数 ：
E g ( X , Y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y Eg(X,Y) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x,y) f(x,y) dxdy Eg(X,Y)=∫−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy
3. 数学期望的性质
- 常数性质 ： E ( C ) = C E(C) = C E(C)=C
- 线性性 ： E ( a X + b Y + c ) = a E ( X ) + b E ( Y ) + c E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c
- 独立性 ：若 X ⊥ Y X \perp Y X⊥Y，则 E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) E(XY) = E(X)E(Y) E(XY)=E(X)E(Y)
- 非乘积性 ：一般情形下 E ( X Y ) ≠ E ( X ) E ( Y ) E(XY) \neq E(X)E(Y) E(XY)=E(X)E(Y)
考点二：方差
1. 方差公式
D ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 D(X) = E(X^2) - E(X)^2 D(X)=E(X2)−E(X)2
2. 方差性质
- 常数方差 ： D ( C ) = 0 D(C) = 0 D(C)=0
- 线性变换 ： D ( a X + b ) = a 2 D ( X ) D(aX + b) = a^2 D(X) D(aX+b)=a2D(X)
- 可加性 ：若 X ⊥ Y X \perp Y X⊥Y，则 D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) D(X±Y)=D(X)+D(Y)
- 一般可加性 ：
D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ± 2 Cov ( X , Y ) D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\text{Cov}(X,Y) D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)
3. 常见分布的期望与方差
| 分布类型 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|
| 0-1分布 | p p p | p ( 1 − p ) p(1-p) p(1−p) |
| 二项分布 | n p np np | n p ( 1 − p ) np(1-p) np(1−p) |
| 泊松分布 | λ \lambda λ | λ \lambda λ |
| 均匀分布 | a + b 2 \frac{a+b}{2} 2a+b | ( b − a ) 2 12 \frac{(b-a)^2}{12} 12(b−a)2 |
| 指数分布 | 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1 | 1 λ 2 \frac{1}{\lambda^2} λ21 |
| 正态分布 | μ \mu μ | σ 2 \sigma^2 σ2 |
考点三：协方差
1. 协方差公式
Cov ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) \text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)
2. 协方差性质
- 对称性 ： Cov ( X , Y ) = Cov ( Y , X ) \text{Cov}(X,Y) = \text{Cov}(Y,X) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
- 自协方差 ： Cov ( X , X ) = D ( X ) \text{Cov}(X,X) = D(X) Cov(X,X)=D(X)
- 线性性 ： Cov ( a X , b Y ) = a b Cov ( X , Y ) \text{Cov}(aX, bY) = ab\text{Cov}(X,Y) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)
- 可加性 ：
Cov ( X 1 + X 2 , Y ) = Cov ( X 1 , Y ) + Cov ( X 2 , Y ) \text{Cov}(X_1 + X_2, Y) = \text{Cov}(X_1,Y) + \text{Cov}(X_2,Y) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) - 独立性 ：若 X ⊥ Y X \perp Y X⊥Y，则 Cov ( X , Y ) = 0 \text{Cov}(X,Y) = 0 Cov(X,Y)=0
考点四：相关系数
1. 相关系数定义
ρ X Y = Cov ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} ρXY=D(X) D(Y) Cov(X,Y)
2. 相关系数性质
- 有界性 ： − 1 ≤ ρ X Y ≤ 1 -1 \leq \rho_{XY} \leq 1 −1≤ρXY≤1
- 线性相关性 ：
- ∣ ρ X Y ∣ = 1 |\rho_{XY}| = 1 ∣ρXY∣=1 的充要条件是存在常数 a , b a,b a,b 使得 P { Y = a X + b } = 1 P\{Y = aX + b\} = 1 P{Y=aX+b}=1
- a > 0 ⇒ ρ X Y = 1 a>0 \Rightarrow \rho_{XY}=1 a>0⇒ρXY=1； a < 0 ⇒ ρ X Y = − 1 a<0 \Rightarrow \rho_{XY}=-1 a<0⇒ρXY=−1
- 独立性推论 ：若 X ⊥ Y X \perp Y X⊥Y，则 ρ X Y = 0 \rho_{XY} = 0 ρXY=0（反之不成立）
总结
本章重点掌握：
- 期望的积分/求和本质：衡量随机变量分布的"中心位置"
- 方差与协方差的矩阵关系：协方差矩阵是半正定矩阵
- 相关系数的归一化特性：消除量纲影响，纯粹反映线性相关性
- 分布特征速查：常见分布的期望方差表格需熟记
真题技巧：
- 计算复杂随机变量期望时，优先考虑分解为简单事件和
- 协方差计算中，独立条件可大幅简化运算