”一维前缀和“算法原理及模板

前缀和，就是通过一种方法来求出数组中某个连续区间的元素的和的办法。我们通常先预处理出来一个前缀和数组，然后把数组中进行元素填充后再进行后续使用。

我们通过一道模板题或许能更加理解其意思。

现在的问题就是：如果我们用暴力枚举来记录每次l与r之间的和，那么肯定是会超时的（时间复杂度O（N*q）），我们要另辟蹊径。我们用一下上面的前缀和算法。

假设我们原有的数组为arr，现在我们要另创建一个数组dp。这个dp数组的每一个元素dp[i]记录着arr[i]及之前的元素之和。

注意，我们这里的arr和dp中的i都是以1开始记录而不是0，稍后我们解释一下原因，我们先把arr[0]和dp[0]都看成0。dp中的元素计算公式为：

dp[i]=dp[i-1]+arr[i];

利用这个公式，我们也可以把dp数组进行初始化。接下来就是如何使用，

假设我们要求l-r的和，只需要用dp[r]-dp[l-1]即可。

通过这个公式我们就可以说明为什么下标需要从1开始了，如果l为0，也就是想求从最左到r，那么公式里就是dp[r]-dp[-1]。越界是万万不可的。所以我们要把arr和dp的0位置空出来并标记为0即可（0并不影响求和）。这种方法我们就成功把时间复杂度变成了o(q)+o(n)。

我们把题解写一下，（代码过程基本就是模板）

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
 
using namespace std;

int main()
{

   int n,q;
  cin >>n>>q;
  //创建一个n+1个数大小的vector （0-n）
  vector <int>arr (n+1);
  for(int i=1;i<n+1;i++) cin>>arr[i];
 //创建前缀和数组
 vector<long long> dp(n+1);
  for(int i=1;i<n+1;i++) dp[i]=dp[i-1]+arr[i];

  //使用前缀和
   int l=0,r=0;
  while(q--)
 {
    cin>>l>>r;
    cout<<dp[r]-dp[l-1]<<endl;
 }
 return 0;
}