AVL树的实现 - 技术栈

一. AVL的概念

AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。

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AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

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AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1， AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，就像⼀个⻛向标⼀样。

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思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法做到⾼度差是0

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AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在，那么增删查改的效率也可

以控制在 O(logN)，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。

这颗树是平衡的。

此时插入了一个13，此时这棵树就失衡了，失衡点是10。

二. AVL树的实现

2.1 AVL树的结构

这是我们实现的树结构。

2.2 AVL树的插⼊

2.2.1 AVL树插⼊⼀个值的⼤概过程

插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。
新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束
更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

2.2.2 平衡因⼦更新

更新原则：

平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度

只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。

插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在

parent的左⼦树，parent平衡因⼦--

parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停⽌条件：

更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前

parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会

影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。

更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说

明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所

在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向

上更新。

更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说

明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼

了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把

parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不

需要继续往上更新，插⼊结束。

不断更新，更新到根，跟的平衡因⼦是1或-1也停⽌了。

我们了解了上面的之后，可以再来看一下是怎么完成++操作的。

我们先完成了bf的++/--操作，接下来我们就要完成旋转操作了。

2.3 旋转

2.3.1 旋转的原则

保持搜索树的规则
让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

说明：下⾯的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便讲解，实际中是什么值都可以，只要⼤⼩关系符合搜索树的性质即可。

2.3.2 右单旋

本图1展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要

求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，

是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/

图5进⾏了详细描述。

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在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平

衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要

往右边旋转，控制两棵树的平衡。

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旋转核⼼步骤，因为5 < b⼦树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原

则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

图 1

图 2

图 3

如果感觉上面太抽象的话，可以看图二和图三，我来讲解一下。

我们可以发现图二失衡了，此时我们就需要旋转了，旋转的要求就是还是保持搜索二叉树的，此时是失衡节点的左子树的左子树，是LL型的，此时我们需要右旋，右旋就是让10变成5的右孩子，如果5本身就有右孩子的话，就是图三的情况，我们需要让10变成5的右孩子，再让5的原本的右孩子变成10的左孩子，此时还是满足搜索二叉树的，其他的节点不要动，此时就完成了平衡的操作。

我们下面用代码写一下右旋的操作吧。

我们通过插入函数中的这个if语句先找到失衡的节点，随后再看它的失衡类型，此时是右旋，我们可以通过图二看到，失衡节点的平衡因子是-2，它的左子树的平衡因子是-1，此时是LL型的，需要右旋，下面我们来完成一下这个右旋操作，首先我们先来看一下右旋之后的情况吧。

我们可以拿这个树来理一下思路。

首先我们右旋成下面这样。

我们来看一下它都需要改变哪些指向，我们的parent指向失衡节点，cur指向失衡节点的左孩子，我们先来看一下，首先就是我们的cur->right=parent，让parent变成了cur的右孩子，我们知道让parent->left=cur->right，图中cur没有右孩子，此时parent->left原来是指向cur的，此时就指向空了，但是我们的cur是可能有右孩子的，所以这里需要判断一下，存在我们还得改变这个右孩子的指向，就是cur->right->parent=parent了，这样就完成了一部分操作，还有就是parent->parent=cur，此时5变成10的父母了，所以要改变，最后就是5的父母了，我们知道5是有可能有父母的，所以这里还得判断一下5是否是根节点如果是就指向空，不是就指向10原来的父母了，下面是代码的书写。

这样我们就完成了右旋操作了。

2.3.3 左单旋

我们了解了右旋转之后，此时就要看一下左旋转了，我们直接看一个例子吧。

此时我们发现上图这棵树失衡了，失衡节点是5，此时是失衡节点的右子树的右子树失衡的，是RR型。此时需要左旋了，左旋就是让5作为10的左孩子，10原来的左孩子成为5的右孩子，此时还是保持搜索二叉树的，此时也完成了平衡。

旋转完就是这样了，这个和右旋转的思路是一样的只需要注意是左孩子还是右孩子即可，下面我们直接来看代码。

就是这样的，大家可以好好看看思考一下。