洛谷P1873 EKO砍树问题详解
题目描述
P1873 EKO砍树 要求在保证所有树木高度不低于H的情况下，通过砍伐使得总木材量至少为M，求最大可能的H值。
输入格式：
- 第1行：N（树木数量），M（需求木材量）
- 第2行：N个整数表示每棵树的高度
输出格式：
- 满足条件的最大H值
算法思路
问题分析
本题核心是在离散范围内寻找最大可行解，具有典型的二分查找特征：
- 单调性：当H增大时，可获得的木材总量单调不增
- 决策可行性：对于任意H值，可在O(N)时间内验证是否满足总木材量≥M
二分法适用性
- 搜索范围：[0, max_height]（max_height为原始最高树高）
- 目标：找到最大的H使得总木材量≥M
- 时间复杂度：O(N log max_height)，可处理1e6级数据
代码解析与优化
原始代码分析
用户提供的代码已实现核心逻辑，但存在两个优化点：
- 右边界冗余：直接使用2e9作为右边界，未利用输入数据特性
- 数组遍历方式：可从后向前遍历优化缓存命中率
优化后代码
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long N, M;
vector<long long> trees;
bool check(long long H) {
long long sum = 0;
for (long long h : trees) {
if (h > H) sum += h - H;
if (sum >= M) return true; // 提前终止优化
}
return sum >= M;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin >> N >> M;
trees.resize(N);
long long max_h = 0;
for (auto& h : trees) {
cin >> h;
max_h = max(max_h, h);
}
long long L = 0, R = max_h;
long long ans = 0;
while (L <= R) {
long long mid = L + (R - L) / 2;
if (check(mid)) {
ans = mid;
L = mid + 1;
} else {
R = mid - 1;
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}关键优化说明
-
动态右边界：
cpplong long max_h = *max_element(trees.begin(), trees.end());通过预处理获取最大树高，将二分范围缩小到实际可能区间
-
提前终止优化：
cppif (sum >= M) return true; // Check函数内当累计木材量已满足需求时立即返回，减少不必要的计算
-
输入优化：
cppios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr);关闭C++流同步，加速大数据量输入
复杂度分析
| 操作 | 时间复杂度 | 说明 |
|---|---|---|
| 二分查找 | O(log max_h) | 典型二分复杂度 |
| 每次检查 | O(N) | 遍历所有树木计算木材量 |
| 总复杂度 | O(N log max_h) | 可处理1e6数据量（约2e7次操作） |
注意事项
-
数据类型：
- 使用
long long防止大数溢出（M可达1e18） - 输入输出时注意类型匹配
- 使用
-
边界条件：
- 当M=0时，H可取最大值（需单独处理）
- 当所有树高<H时，总木材量为0
-
精度问题：
- 本题H为整数，无需处理浮点精度
- 若改为实数版本，需设置合适终止条件
测试样例
样例输入1：
4 7
20 15 10 17执行过程：
- 初始范围：[0, 20]
- 二分过程：
- mid=10 → sum=20+15+10+17-4*10=22 ≥7 → 尝试更大H
- mid=15 → sum=20+17-2*15=7 ≥7 → 尝试更大H
- mid=17 → sum=20+17-2*17=3 <7 → 回退
- 最终结果：15
样例输出1：
15扩展思考
-
变种问题：
- 若要求总木材量恰好等于M，如何处理？
- 若H可取实数，如何修改代码？
-
实际应用：
- 资源分配问题（如水库蓄水高度）
- 生产调度中的最小成本问题
-
算法对比：
- 与三分法的区别：三分法适用于单峰函数，本题具有严格单调性
总结
本题通过二分法将看似复杂的优化问题转化为简单的可行性判断，关键点在于：
- 准确识别问题的单调性
- 高效实现可行性检查函数
- 合理设置二分边界
掌握这种思维模式，可以解决一类"最大最小值"问题（Maximize the Minimum Value），是算法竞赛中的重要技巧。