线性代数小述（一）

by Amamiya_Fuko

斜阳洒落，仍是今朝

踉跄西去，不见东还

前言

线性代数是什么？它什么也不是，也可以是什么，它的意义是随意的、偶然的，也许它是期末考试的科目，又或者是解决问题的工具，但现在它是我们欲望的名，是我的自我，是神圣的本体，总之，是有趣的东西，希望你享受其中。

线性变换 是一个同态映射，这同样也是说，线性变换是两个代数系统的同态映射。

这两个代数系统也就是向量空间，向量空间是一个特殊的代数结构，它不是环也不是群。

向量可以被理解为一些代数的集合，如有向量 v → = { a , b , c , d } \overset{\to}{v} = \{a,b,c,d\} v→={a,b,c,d}

向量空间由一个在向量集上的二元运算、以及一个由向量集、数集到向量集的二元运算组成组成，对应着向量加法与向量倍乘。

我们可以将矩阵理解为向量的集合，如

v 1 → v 2 → v 3 → \] = \[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 \] \\left\[ \\begin{array}{c} \\overset{\\to}{v_1} \\\\ \\overset{\\to}{v_2} \\\\ \\overset{\\to}{v_3} \\\\ \\end{array} \\right\] =\\left\[ \\begin{array}{ccc} a_{11} \& a_{12} \& a_{13} \\\\ a_{21} \& a_{22} \& a_{23} \\\\ a_{31} \& a_{32} \& a_{33} \\end{array} \\right\] v1→v2→v3→ = a11a21a31a12a22a32a13a23a33 设想一个由两个向量推导出的向量空间，如向量 v 1 → = \[ 1 0 \] \\overset{\\to}{v_1}=\\left\[\\begin{array}{c}1\\\\ 0 \\end{array}\\right\] v1→=\[10\]以及向量 v 2 → = \[ 0 1 \] \\overset{\\to}{v_2}=\\left\[\\begin{array}{c}0\\\\ 1\\end{array}\\right\] v2→=\[01

显然的，在考虑满足封闭性的情况下，向量空间的向量集必然是一个平面。

又显然的，既然向量空间封闭，那么向量空间中的全体元与其中某元的运算必然回到向量空间中。