蓝桥杯 2024 15届国赛 A组儿童节快乐

P10576 [蓝桥杯 2024 国 A] 儿童节快乐

题目描述

五彩斑斓的气球在蓝天下悠然飘荡，轻快的音乐在耳边持续回荡，小朋友们手牵着手一同畅快欢笑。在这样一片安乐祥和的氛围下，六一来了。

今天是六一儿童节，小蓝老师为了让大家在节日里享受解题的乐趣，特地准备了一道有趣的题目。

题目内容为：求出所有满足以下条件的整数 n n n 的总和：

( n + 10120300500 ) (n+10120300500) (n+10120300500) 是一个完全平方数。
( n − 10120300500 ) (n-10120300500) (n−10120300500) 也是一个完全平方数。

一个数如果可以表示为另一个整数的平方，那么这个数就叫做完全平方数。例如， 4 4 4 可以表示为 2 2 2 的平方， 9 9 9 可以表示为 3 3 3 的平方，因此 4 4 4 和 9 9 9 都是完全平方数。

请大家用心仔细地思考，求出答案。同时祝大家儿童节快乐，解题过程开心顺遂！

输入格式

这是一道结果填空题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

输出格式

这是一道结果填空题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

题解

本题官方判题机有误，真实答案已经超过 longlong 范围，请使用洛谷判题机
思路
- 设 k = 10120300500 k = 10120300500 k=10120300500
- 容易想到从 1 1 1 开始枚举 n n n，看看有多少个 n n n 满足这样的条件，并累计，但经过测试，即使枚举到 10 9 10^9 109，枚举到 10 10 10^{10} 1010 还是有新的 n n n 满足条件，因此边界无法确定
- 观察题目所给的两个式子
  n + k = a 2 (1) n + k = a^2 \tag{1} n+k=a2(1)
  
  n − k = b 2 (2) n - k = b^2 \tag{2} n−k=b2(2)
  - 可以看出， ( 1 ) − ( 2 ) = a 2 − b 2 = 2 k (1) - (2) = a^2 -b^2 = 2k (1)−(2)=a2−b2=2k
  - 由平方差公式可得： ( a + b ) ( a − b ) = 2 k (a + b)(a - b) = 2k (a+b)(a−b)=2k
  - 若能求解出 a , b a,b a,b 即可求出 n n n， n = a 2 − k = b 2 + k = a 2 + b 2 2 n = a^2 - k = b^2 + k = \frac{a^2 + b^2}{2} n=a2−k=b2+k=2a2+b2
- 如何求解 a , b a,b a,b？
  - 设 x = ( a + b ) , y = ( a − b ) x = (a + b), y = (a - b) x=(a+b),y=(a−b)，那么有 x × y = 2 k x \times y = 2k x×y=2k
  - 枚举 2 k 2k 2k 的所有因子，即可求出 x , y x, y x,y
    - 2 k = 20240601000 > 10 10 2k = 20240601000 > 10^{10} 2k=20240601000>1010，需要使用 O ( n ) O(\sqrt n) O(n ) 算法枚举因子
  - 求出 x , y x,y x,y，那么 a = x + y 2 , b = x − y 2 a = \frac{x+y}{2}, b = \frac{x-y}{2} a=2x+y,b=2x−y
- longlong 能存下答案和中间结果吗？
  - 极端一些，假设 x = k − 1 , y = 1 x = k - 1, y = 1 x=k−1,y=1，那么 a , b ≈ k / 2 ≈ 5 × 10 9 a, b \approx k/2 \approx 5 \times 10^9 a,b≈k/2≈5×109
  - 当计算 n n n 时， a 2 + b 2 ≈ 5 × 10 19 a^2 + b^2 \approx 5 \times 10^{19} a2+b2≈5×1019，longlong 的范围大概是 9 × 10 18 9 \times 10^{18} 9×1018，存储不了
  - 直接用 __int128 一步到位，输出要自定义
- 至此，可以写出代码
  cpp 复制代码
```
typedef __int128 Int;
int main() {
    Int k = 10120300500;
    Int s = 2 * k;
    Int res = 0;
    for(Int x = 1; x * x <= s; ++x) {
        if(s % x == 0) {
            Int y = s / x;
            Int a = (x + y) / 2, b = (x - y) / 2;
            res += (a * a + b * b) / 2;
        }
    }
    return 0;
}
```
- 但是提交后发现出错了，为什么呢？
  - 观察到求解 a , b a,b a,b 时，使用了除法，而 cpp 的除法是向零截断的，因此可能存在小数 a , b a,b a,b 也满足条件，那么求出的 n n n 也是一个小数，与题目要求整数不符
  - 要保证 a , b a,b a,b 是整除得到的，那么 x + y , x − y x + y, x-y x+y,x−y 必须是偶数

AC 代码

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef __int128 Int;

void output(Int num) {
    char buf[50] = {0};
    int i = 0;
    while(num) {
        buf[i++] = '0' + num % 10;
        num /= 10;
    }
    for(int j=i-1; j>=0; --j) cout << buf[j];
}

int main() {
    Int k = 10120300500;
    Int s = 2 * k;
    Int res = 0;
    for(Int x = 1; x * x <= s; ++x) {
        if(s % x == 0) {
            Int y = s / x;
            if((x + y) % 2 == 0 && (x - y) % 2 == 0) {
                Int a = (x + y) / 2, b = (x - y) / 2;
                res += (a * a + b * b) / 2;
            }
        }
    }
    output(res);
    return 0;
}

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输入格式

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