slam--高斯分布

教程

博主解释

多维高斯，一维和二维图像

高斯分布

高斯分布 （Gaussian Distribution），又称正态分布 （Normal Distribution），是描述连续型随机变量分布规律的一种概率分布。

(1) 一维高斯分布

• μ ：均值/数学期望（分布的中心位置），数据集中在均值 μ 附近。

• σ2 ：方差（衡量数据离散程度，σ 为标准差）。

• exp⁡(⋅)：自然指数函数。

-- 简单理解：水机变量集中分布在均值附近的分布。

高斯白噪声

均值通常为 0的高斯噪声。

多维高斯分布

什么是高斯的维数？

就是高斯函数的自变量有几个。

一维：

二维：

三维：

多维高斯pdf:

• x：n 维向量。

• μ：均值向量。

• Σ：协方差矩阵（描述各维度的方差和相关性）。

• Σ−1：协方差矩阵的逆矩阵。

k 维高斯分布的PDF为：

• 参数：

  • μ：均值向量（k×1）。

  • x：k维向量,表示有k个自变量。

  • Σ：协方差矩阵（k×k，对称正定）。

• 马氏距离（Mahalanobis Distance）：

应用场景

• 多变量数据建模（如机器人位姿估计）。

表达式解释

为什么需要转置？

在多维高斯分布的指数部分，(x−μ)，Σ都是矩阵，矩阵乘法需要满足左矩阵的列数等于右矩阵行数，才能计算，所以：

1. Σ−1是 n×n 的矩阵。
2. x−μ 是 n×1的列向量。
3. 为了矩阵乘法合法，需将第一个向量转为行向量（1×n），即 (x−μ)T。

多维高斯函数中的二次型

在多维高斯分布的指数部分，(x−μ)TΣ−1(x−μ)是一个二次型（Quadratic Form），应该说是一个加加权二次型。

二次型是线性代数和多元统计中的核心概念。

对于 n 维向量 x∈Rn 和一个 n×n的对称矩阵 A，x的二次型定义为：

加权二次型

即二次型中的对称矩阵A有权重：

slam中最小二乘的误差的加权二次型，定义为：