【高等数学】导数与微分

本文涉及知识点

预备知识

对函数可以在其定义域的一部分上定义单调性，设函数f(x)的定义域的D，任意 A ⊆ D A\subseteq D A⊆D,任取 x 1 , x 2 ∈ A , x 1 < x 2 x1,x2\in A,x1<x2 x1,x2∈A,x1<x2,如果：

f(x1)<f(x2) ⟺ \iff ⟺ f(x)在A上单调递增。

f(x1)>f(x2) ⟺ \iff ⟺ f(x)在A上单调递减。

函数导数定义

假设函数y=f(x)在点x0处的领域内有定义，当自变量x在x0处取得增量 Δ x \Delta x Δx(x+ Δ x \Delta x Δx仍然在x0的领域内)。相应函数的增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x0+\Delta x)-f(x0) Δy=f(x0+Δx)−f(x0)。如果 Δ y Δ x 在 x → 0 \frac {\Delta y} {\Delta x}在 x \to 0 ΔxΔy在x→0时的极限存在，称为函数y=f(x)在x0处可导，记作 f ′ ( x 0 ) f'(x0) f′(x0)，公式为：
f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)。
性质一 ：可导一定连续， Δ x 是无穷小， Δ y 必定是等价无穷小或低阶无穷小，否则 Δ y Δ x 是无穷大。 \Delta x 是无穷小，\Delta y 必定是等价无穷小或低阶无穷小，否则 \frac {\Delta y}{\Delta x}是无穷大。 Δx是无穷小，Δy必定是等价无穷小或低阶无穷小，否则ΔxΔy是无穷大。
几何含义：切线斜率。

不可导的四种情况

一，此点无定义。如： 1 x \frac 1 x x1在0处。

二，此点不连续。如符号函数在0处。

三，此点不光滑。此点左切斜率 ≠ \neq =右切斜率。如y=|x|。x=0处，左切斜率是-1,右切斜率1。

四，斜率无穷大。 x 2 / 3 x^{2/3} x2/3, ( Δ x ) 2 ( Δ X ) 3 \frac {(\Delta x)^2}{(\Delta X)^3} (ΔX)3(Δx)2 分子是低阶无穷小，分母是高阶无穷小。故左导是负无穷大，右导是正无穷大。

求导

函数得和、差、积、商得求导法则

定理1 ：如果函数u=u(x),v=v(x)都在点x具有导数，那么它们得和、差、积、商（分母为0得点除外)都在点x具有导数。且：