本文涉及知识点
预备知识
对函数可以在其定义域的一部分上定义单调性，设函数f(x)的定义域的D，任意 A ⊆ D A\subseteq D A⊆D,任取 x 1 , x 2 ∈ A , x 1 < x 2 x1,x2\in A,x1<x2 x1,x2∈A,x1<x2,如果：
f(x1)<f(x2) ⟺ \iff ⟺ f(x)在A上单调递增。
f(x1)>f(x2) ⟺ \iff ⟺ f(x)在A上单调递减。
函数导数定义
假设函数y=f(x)在点x0处的领域内有定义，当自变量x在x0处取得增量 Δ x \Delta x Δx(x+ Δ x \Delta x Δx仍然在x0的领域内)。相应函数的增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x0+\Delta x)-f(x0) Δy=f(x0+Δx)−f(x0)。如果 Δ y Δ x 在 x → 0 \frac {\Delta y} {\Delta x}在 x \to 0 ΔxΔy在x→0时的极限存在，称为函数y=f(x)在x0处可导，记作 f ′ ( x 0 ) f'(x0) f′(x0)，公式为：
f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)。
性质一 ：可导一定连续， Δ x 是无穷小， Δ y 必定是等价无穷小或低阶无穷小，否则 Δ y Δ x 是无穷大。 \Delta x 是无穷小，\Delta y 必定是等价无穷小或低阶无穷小，否则 \frac {\Delta y}{\Delta x}是无穷大。 Δx是无穷小，Δy必定是等价无穷小或低阶无穷小，否则ΔxΔy是无穷大。
几何含义：切线斜率。
不可导的四种情况
一，此点无定义。如： 1 x \frac 1 x x1在0处。
二，此点不连续。如符号函数在0处。
三，此点不光滑。此点左切斜率 ≠ \neq =右切斜率。如y=|x|。x=0处，左切斜率是-1,右切斜率1。
四，斜率无穷大。 x 2 / 3 x^{2/3} x2/3, ( Δ x ) 2 ( Δ X ) 3 \frac {(\Delta x)^2}{(\Delta X)^3} (ΔX)3(Δx)2 分子是低阶无穷小，分母是高阶无穷小。故左导是负无穷大，右导是正无穷大。
求导
函数得和、差、积、商得求导法则
定理1 ：如果函数u=u(x),v=v(x)都在点x具有导数，那么它们得和、差、积、商（分母为0得点除外)都在点x具有导数。且：
u ( x ) ± v ( x ) ′ = u ′ ( x ) ± v ′ ( x ) u(x)\\pm v(x)'=u'(x)\pm v'(x) u(x)±v(x)′=u′(x)±v′(x)
u ( x ) v ( x ) ′ = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) u(x)v(x)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) u(x)v(x)′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)
u ( x ) v ( x ) ′ = u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) v 2 ( x ) \\frac {u(x)} {v(x)}'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} v(x)u(x)′=v2(x)u′(x)v(x)−u(x)v′(x)
反函数求导法则
定理二 ：如果函数x=f(y)在区间I单调、可导且f'(y) ≠ 0 \neq 0 =0,那么它得返回y=f^{-1}(x)在区间 I x = x ∣ x = f ( y ) , y ∈ I I_x={x|x=f(y),y\in I} Ix=x∣x=f(y),y∈I内也是可导得。且 f − 1 ( x ) ′ = 1 f ′ ( y ) f\^{-1}(x)'=\frac 1 {f'(y)} f−1(x)′=f′(y)1
复合函数的求导法则
定理三 ：如果u=g(x)在点x处可导,而y=f(u)在点u=g(x)处可导，那么符合函数y=fg(x)处可导，且其导数为：
d y d x = f ′ ( u ) . g ′ ( x ) \frac {dy} {dx}=f'(u).g'(x) dxdy=f′(u).g′(x)
常数和基本初等函数的导数公式
一， ( C ) ′ = 0 (C)'=0 (C)′=0 二, ( x u ) ′ = u x u − 1 (x^u)'=ux^{u-1} (xu)′=uxu−1
三， ( sin x ) ′ = cos x (\sin x)'=\cos x (sinx)′=cosx 四， ( cos x ) ′ = − sin x (\cos x)'=-\sin x (cosx)′=−sinx
五, ( tan x ) ′ = sec 2 x (\tan x)'=\sec^2 x (tanx)′=sec2x 六， ( cot x ) ′ = − csc 2 x (\cot x)'=-\csc^2 x (cotx)′=−csc2x
七, ( sec x ) ′ = sec x tan x (\sec x)'=\sec x \tan x (secx)′=secxtanx 八, ( csc x ) ′ = − csc x cot x (\csc x)'=-\csc x \cot x (cscx)′=−cscxcotx
九， ( a x ) = a x l n a ( a > 0 , a ≠ 1 ) (a^x)=a^xlna(a>0,a\neq 1) (ax)=axlna(a>0,a=1) 十, ( e x ) ′ = e x (e^x)'=e^x (ex)′=ex
十一， ( l o g a x ) ′ = 1 x ln a (log_a x)'=\frac 1 {x\ln a} (logax)′=xlna1 十二， ( ln x ) ′ = 1 x (\ln x)'=\frac 1 x (lnx)′=x1
十三， ( arcsin x ) ′ = 1 1 − x 2 (\arcsin x)'=\frac 1 {\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)′=1−x2 1 十四， ( arccos x ) ′ = − 1 1 − x 2 (\arccos x)'=-\frac 1 {\sqrt {1-x^2}} (arccosx)′=−1−x2 1。
十五， ( arctan x ) ′ = 1 1 + x 2 (\arctan x)'=\frac 1 {1+x^2} (arctanx)′=1+x21 十六, ( a r c c o t x ) ′ = 1 1 + x 2 (arccot x)'=\frac 1 {1+x^2} (arccotx)′=1+x21
三角函数求导过程
( sin x ) ′ = cos x (\sin x)'=\cos x (sinx)′=cosx证明过程如下：
sin ( x + h ) − s i n ( x ) h = 2 cos ( x + h / 2 ) sin ( h / 2 ) h = cos ( x + h / 2 ) sin ( h / 2 ) h / 2 = c o s ( x + h / 2 ) = cos x \frac {\sin(x+h)-sin(x)} h=\frac {2\cos(x+h/2)\sin(h/2)}h=\frac {\cos(x+h/2)\sin(h/2)}{h/2}=cos(x+h/2)=\cos x hsin(x+h)−sin(x)=h2cos(x+h/2)sin(h/2)=h/2cos(x+h/2)sin(h/2)=cos(x+h/2)=cosx
( cos x ) ′ = cos ( x + h ) − cos x h = − 2 sin ( x + h / 2 ) sin ( h / 2 ) h = − sin ( x + h / 2 ) = − sin x (\cos x)'=\frac {\cos(x+h)-\cos x} h=-2\frac{\sin(x+h/2)\sin(h/2)} h=-\sin(x+h/2)=-\sin x (cosx)′=hcos(x+h)−cosx=−2hsin(x+h/2)sin(h/2)=−sin(x+h/2)=−sinx
三角函数和差化积
sin A + sin B = 2 sin A + B 2 cos A − B 2 sin A − s i n B = 2 cos A + B 2 sin A − B 2 cos A + cos B = 2 cos A + B 2 cos A − B 2 cos A − cos B = − 2 sin A + B 2 sin A − B 2 \sin A + \sin B=2\sin \frac{A+B}2 \cos \frac {A-B} 2 \\ \sin A - sin B=2\cos \frac {A+B}2 \sin \frac{A-B} 2\\ \cos A+\cos B=2\cos \frac {A+B} 2 \cos \frac {A-B} 2\\ \cos A- \cos B=-2 \sin \frac{A+B}2 \sin \frac{A-B}2 sinA+sinB=2sin2A+Bcos2A−BsinA−sinB=2cos2A+Bsin2A−BcosA+cosB=2cos2A+Bcos2A−BcosA−cosB=−2sin2A+Bsin2A−B
其它
根据导数的四则运算
( tan x ) ′ = ( sin x cos x ) ′ = cos x cos x − sin x ( − sin x ) cos 2 x = 1 cos 2 x (\tan x)'=(\frac {\sin x}{\cos x})'=\frac{\cos x \cos x - \sin x (-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac 1 {\cos^2 x} (tanx)′=(cosxsinx)′=cos2xcosxcosx−sinx(−sinx)=cos2x1
( cot x ) ′ = ( cos x sin x ) ′ = ( − sin x ) sin x − cos x cos x sin 2 x = − 1 sin 2 x (\cot x)'=(\frac {\cos x}{\sin x})'=\frac{(-\sin x)\sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x}=\frac {-1}{\sin^2 x} (cotx)′=(sinxcosx)′=sin2x(−sinx)sinx−cosxcosx=sin2x−1
( sec x ) ′ = ( 1 cos x ) ′ = − ( − sin x ) cos 2 x = sec x tan x (\sec x)'=(\frac 1 {\cos x})'=\frac {-(-\sin x)}{\cos^2 x}=\sec x \tan x (secx)′=(cosx1)′=cos2x−(−sinx)=secxtanx
( csc x ) ′ = ( 1 sin x ) ′ = − cos x s i n 2 x = − csc x cot x (\csc x)'=(\frac 1 {\sin x})'=\frac {-\cos x}{sin^2 x}=-\csc x \cot x (cscx)′=(sinx1)′=sin2x−cosx=−cscxcotx
指数函数求导
f ( x ) = a x , a > 0 , a ≠ 1 , f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 a x + Δ x − a x Δ x = a x lim Δ x → 0 a Δ x − 1 Δ x f(x)=a^x,a>0,a\neq 1, f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac {a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x} f(x)=ax,a>0,a=1,f′(x)=Δx→0limΔxax+Δx−ax=axΔx→0limΔxaΔx−1
= a x lim Δ x → 0 Δ x ln a Δ x a^x\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta x \ln a}{\Delta x} axΔx→0limΔxΔxlna 根据等价极限
= a x ln a a^x\ln a axlna
对数求导
f ( x ) = l o g a x , f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 log a ( x + Δ x ) − l o g a x Δ x = lim Δ x → 0 log a ( 1 + Δ x x ) Δ x f(x)=log_a x,f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\log a (x+\Delta x)-log_a x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a (1+\frac {\Delta x}{x})}{\Delta x} f(x)=logax,f′(x)=Δx→0limΔxloga(x+Δx)−logax=Δx→0limΔxloga(1+xΔx)
=> lim Δ x → 0 ln ( 1 + Δ x x ) Δ x ln a \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\ln (1+\frac {\Delta x}{x})}{\Delta x \ln a} Δx→0limΔxlnaln(1+xΔx) 根据换底公式
=> lim Δ x → 0 Δ x ÷ x Δ x ln a \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x \div x }{\Delta x \ln a} Δx→0limΔxlnaΔx÷x根据等价极限
=> 1 x l n a \frac 1 { x lna} xlna1
幂函数求导
f ( x ) = x a = e a l n x f(x)=x^a=e^{alnx} f(x)=xa=ealnx
= e a l n x ( a ln x ) ′ e^{alnx}(a\ln x)' ealnx(alnx)′ 复合函数求导
= e a ln x a 1 x e^{a\ln x}a \frac 1 x ealnxax1
= x a a ÷ x x^a a \div x xaa÷x
= a x a − 1 a x ^{a-1} axa−1
反三角函数求导
令 y = f ( x ) = arcsin x , f ′ ( x ) = 1 sin ′ y = 1 cos y = 1 1 − sin 2 y = 1 1 − x 2 y=f(x)=\arcsin x,f'(x)=\frac 1 {\sin' y}=\frac 1 {\cos y}=\frac 1 {\sqrt {1-\sin^2 y}}=\frac 1 {\sqrt{1-x^2}} y=f(x)=arcsinx,f′(x)=sin′y1=cosy1=1−sin2y 1=1−x2 1
令 y = f ( x ) = arccos x , f ′ ( x ) = 1 cos ′ y = − 1 sin y = − 1 1 − c o s 2 y = − 1 1 − x 2 y=f(x)=\arccos x,f'(x)=\frac 1 {\cos' y}=\frac {-1}{\sin y}=\frac {-1} {\sqrt {1 - cos^2 y}}=\frac {-1} {\sqrt {1 - x^2}} y=f(x)=arccosx,f′(x)=cos′y1=siny−1=1−cos2y −1=1−x2 −1
令 y = f ( x ) = arctan x , f ′ ( x ) = 1 tan ′ y = cos 2 y = cos 2 y sin 2 y + cos 2 y y=f(x)=\arctan x,f'(x)=\frac 1 {\tan' y}=\cos^2 y=\frac {\cos^2 y}{\sin^2 y + \cos^2 y} y=f(x)=arctanx,f′(x)=tan′y1=cos2y=sin2y+cos2ycos2y
1 tan 2 y + 1 \frac 1 {\tan^2y+1} tan2y+11分子分母除以 cos 2 x \cos^2 x cos2x
= 1 x 2 + 1 \frac 1 {x^2+1} x2+11
反正切请自行证明
显函数与隐函数
显函数 Explicit Function),如果一个函数直接表示为 因变量 = f(自变量) 的形式，即明确解出因变量，则称为显函数。
隐函数 :（Implicit Function）,如果函数关系由 方程 F(x,y)=0（或多个变量)确定,没有显式解出因变量，则称为隐函数。
求 e y + x y − e = 0 e^y+xy-e=0 ey+xy−e=0所确定的隐函数的导数 d y d x \frac {dy}{dx} dxdy。类似复合函数求导。
( e y ) y ′ + ( x y ′ + y ) − 0 = 0 (e^y)y'+(xy'+y)-0=0 (ey)y′+(xy′+y)−0=0
=> ( e y + x ) y ′ = − y (e^y+x)y'=-y (ey+x)y′=−y
=> y ′ = − y e y + x y'=\frac {-y}{e^y+x} y′=ey+x−y
对数求导法
对y=f(x)左右两端求对数。如： y = x sin x y =x^{\sin x} y=xsinx, >0。
l n y = l n ( x sin x ) = ln ( e ln x sin x ) ln y= ln (x ^{\sin x})=\ln (e ^ {\ln x \sin x}) lny=ln(xsinx)=ln(elnxsinx)
=> ln y = ln x sin x \ln y=\ln x \sin x lny=lnxsinx
( 1 y ) y ′ = ( 1 x ) sin x + ln x ( cos x ) (\frac 1 y)y'=(\frac 1 x)\sin x + \ln x(\cos x) (y1)y′=(x1)sinx+lnx(cosx) 求导
y ′ = x sin x ( cos x ln x + sin x ÷ x ) y'=x^{\sin x}(\cos x \ln x + \sin x \div x) y′=xsinx(cosxlnx+sinx÷x)用x替换y
参数方程求导
d y d x = d y ÷ d t d x ÷ d t \frac {dy}{dx}=\frac {dy \div dt}{dx \div dt} dxdy=dx÷dtdy÷dt
高阶导数的线性法则（莱布尼茨线性性质）
如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都有n阶导数, u ( n ) u^{(n)} u(n)表示u的n阶导数。则：
( u ± v ) ( n ) = u ( n ) ± v ( n ) (u\pm v)^{(n)}=u^{(n)} \pm v^{(n)} (u±v)(n)=u(n)±v(n)
用数学归纳法证明。n=1时，复合导数的四则运算。如果n=m时成立，则n=m+1时必定成立。
( u ± v ) ( m + 1 ) = ( u m ± v m ) ′ = u ( m + 1 ) ± v ( m + 1 ) (u \pm v)^{(m+1)}=(u^{m}\pm v^{m})'=u^{(m+1)}\pm v^{(m+1)} (u±v)(m+1)=(um±vm)′=u(m+1)±v(m+1)
莱布尼茨公式(Leibniz formula)
( u v ) ( n ) = u ( n ) v + n u ( n − 1 ) v ′ + n ( n − 1 ) 2 ! u n − 2 v ′ ′ + ⋯ u v ( n ) (uv)^{(n)}=u^{(n)}v+nu^{(n-1)}v'+\frac{n(n-1)}{2!}u^{n-2}v'' + \cdots uv^{(n)} (uv)(n)=u(n)v+nu(n−1)v′+2!n(n−1)un−2v′′+⋯uv(n)
( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( n − k ) v ( k ) (uv)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)} (uv)(n)=k=0∑nCnku(n−k)v(k)
下面用数学归纳法来证明：
n等于1时， ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' (uv)′=u′v+uv′成立。
假定m=n成立，则m=n+1也成立。令 ( u v ) ( n ) 的第 i 项时 f ( i , n ) (uv)^{(n)}的第i项时f(i,n) (uv)(n)的第i项时f(i,n)
( u v ) n + 1 = ( ( u v ) ( n ) ) ′ = ∑ k : 0 n f ′ ( i , n ) (uv)^{n+1}=((uv)^{(n)})'=\sum\limits_{k:0}^n f'(i,n) (uv)n+1=((uv)(n))′=k:0∑nf′(i,n)
f ′ ( k , n ) = C n k ( u n − k + 1 v ( k ) + u ( n − k ) v ( k + 1 ) ) f'(k,n)=C_n^k(u^{n-k+1}v^{(k)}+u^{(n-k)}v^{(k+1)}) f′(k,n)=Cnk(un−k+1v(k)+u(n−k)v(k+1))
f ( k , n + 1 ) = ? u ( n + 1 − k v k = f ( k , n ) 的左半部分 + f ( k − 1 , n ) 的右半部分 f(k,n+1)=?u^{(n+1-k}v^{k}= f(k,n)的左半部分+f(k-1,n)的右半部分 f(k,n+1)=?u(n+1−kvk=f(k,n)的左半部分+f(k−1,n)的右半部分
f ( 0 , n + 1 ) 的系数 = f ( n , k ) 的左半部分的系数 = 1 = C n + 1 0 f(0,n+1)的系数=f(n,k)的左半部分的系数=1=C_{n+1}^0 f(0,n+1)的系数=f(n,k)的左半部分的系数=1=Cn+10
f ( k , n + 1 ) 的系统 = C n k + C n k − 1 = C n + 1 k , 1 < k ≤ n f(k,n+1)的系统=C_n^k+C_n^{k-1}=C_{n+1}^k,1<k \le n f(k,n+1)的系统=Cnk+Cnk−1=Cn+1k,1<k≤n
f ( n + 1 , n + 1 ) = f ( n , n ) 的右半部分的系数 = C n n = 1 = C n + 1 n + 1 f(n+1,n+1)=f(n,n)的右半部分的系数=C_n^n=1=C_{n+1}^{n+1} f(n+1,n+1)=f(n,n)的右半部分的系数=Cnn=1=Cn+1n+1
微分
设函数y=f(x)在某区间内有定义， x 0 及 x 0 + Δ x x_0及x_0+\Delta x x0及x0+Δx在这个区间内有定义，如果函数的增量：
Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) Δy=f(x0+Δx)−f(x0),可表示为：
Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) \Delta y=A \Delta x+o(\Delta x) Δy=AΔx+o(Δx)
其中A是不依赖于 Δ x \Delta x Δx的常数，那么函数y=f(x)在点 x 0 x_0 x0是可微的。而 A Δ x A\Delta x AΔx叫做函数y=f(x)在点x_0相对对应于自变量增量 Δ x \Delta x Δx的微分，记作dy，及： d y = A Δ x dy=A\Delta x dy=AΔx
一元函数中， 可微 ⟺ 可导，且 d y = f ′ ( x ) d x 可微 \iff 可导，且dy=f'(x) dx 可微⟺可导，且dy=f′(x)dx
注意 ： d x = Δ x dx = \Delta x dx=Δx，但两者的几乎含义不同。 d y ≈ Δ y , d y 是切线因变量的变化， Δ 是函数因变量的增量 dy \approx \Delta y,dy是切线因变量的变化，\Delta 是函数因变量的增量 dy≈Δy,dy是切线因变量的变化，Δ是函数因变量的增量
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视频课程
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。