向量 x x x的相关矩阵为
R x = [ 0.3 0.1 0.1 0.1 0.3 − 0.1 0.1 − 0.1 0.3 ] {\bm R}_x = \begin{bmatrix} 0.3 & 0.1 & 0.1 \\ 0.1 & 0.3 & -0.1 \\ 0.1 & -0.1 & 0.3 \end{bmatrix} Rx= 0.30.10.10.10.3−0.10.1−0.10.3
计算输入向量的 KL 变换。
解答
R x {\bm R}_x Rx的特征值为 λ 0 = 0.1 \lambda_0 = 0.1 λ0=0.1， λ 1 = λ 2 = 0.4 \lambda_1 = \lambda_2 = 0.4 λ1=λ2=0.4。
既然 R x {\bm R}_x Rx是对称的，可以构建正交特征向量。
在这个例子中，有
u 0 = 1 3 [ 1 − 1 − 1 ] , u 1 = 1 6 [ 2 1 1 ] , u 2 = 1 2 [ 0 1 − 1 ] {\bm u}_0 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad {\bm u}_1 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad {\bm u}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} u0=3 1 1−1−1 ,u1=6 1 211 ,u2=2 1 01−1
则 KL 变换为
y ( 0 ) y ( 1 ) y ( 2 ) \] = \[ 2 / 6 1 / 6 1 / 6 0 1 / 2 − 1 / 2 1 / 3 − 1 / 3 − 1 / 3 \] \[ x ( 0 ) x ( 1 ) x ( 2 ) \] \\begin{bmatrix} y(0) \\\\ y(1) \\\\ y(2) \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 2/\\sqrt{6} \& 1/\\sqrt{6} \& 1/\\sqrt{6} \\\\ 0 \& 1/\\sqrt{2} \& -1/\\sqrt{2} \\\\ 1/\\sqrt{3} \& -1/\\sqrt{3} \& -1/\\sqrt{3} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x(0) \\\\ x(1) \\\\ x(2) \\end{bmatrix} y(0)y(1)y(2) = 2/6 01/3 1/6 1/2 −1/3 1/6 −1/2 −1/3 x(0)x(1)x(2) 其中 y ( 0 ) , y ( 1 ) y(0), y(1) y(0),y(1)对应于两个最大的特征值。