目录
[1. 单位向量(unitary vector或unit vector)](#1. 单位向量(unitary vector或unit vector))
[2. 正交矩阵(unitary matrix)的定义](#2. 正交矩阵(unitary matrix)的定义)
[3. 幺正矩阵(unitary matrix)的定义](#3. 幺正矩阵(unitary matrix)的定义)
[4. 为什么称为幺正矩阵(Unitary)？](#4. 为什么称为幺正矩阵(Unitary)？)
1. 单位向量( unitary vector或unit vector**)**
"unitary"是"unit"的形容词，由"unit"+ "-ary"构成，"-ary"为名词和形容词构词后缀。词义为"与......相联系的，属于......的。"
一个单位向量 是其量纲 (magnitude)(长度)恰好为1的向量，仅表示一个无标度(scale)的方向，通过用一个"帽"(例如 ) 表示。对于一个向量 v ，我们用 |v| 表示其量纲(长度或范数)，则其单位向量为
。
标准基向量 ( 归一化基向量) 是单位向量。
来自其它向量的单位向量：例如 v = ( 3 ,4 ) ，则其单位向量
。
2. 正交矩阵( unitary matrix**)** 的定义
实数场 (field)上具有正交性的矩阵称为正交矩阵，一个正交矩阵是一个行向量和列向量都正交的方形矩阵，即行向量或列向量的内积为零，行向量或列向量之间是垂直关系，向量在方向上没有相似性。 我们用 Q 表示正交矩阵，正交矩阵的转置等于其逆。因此，正交矩阵的正交性可表示为
( I表示单位矩阵或恒等矩阵 )，
因此，若一个方阵的转置等于其逆，即， ，则此方阵是正交的。
一个正交矩阵必须是一个可逆矩阵，也是一个幺正矩阵 ( ） ，其中，
是 Q 的Hermite 伴随矩阵 (adjoint)(共轭转置------先取共轭再取转置)，因此它在实数上是正规的 (
)。任意正交矩阵的行列式都为 1 或 -1 。正交矩阵作为一个线性变换，其保留了向量的内积不变，并充当一个 Euclid空间的等距(isometry)，例如旋转、反射或旋反射。换言之，它是一个幺正变换。
3. 幺正 矩阵( unitary matrix**)** 的定义
对于一个复方阵 U ， 若其逆 等于其共轭转置
，则称其为幺正矩阵。用符号表达为
( I表示单位矩阵或恒等矩阵 )。
幺正 矩阵的行 ( 和列)向量 是单位向量且正交。
4. 为什么称为 幺正 矩阵( Unitary**)** ？
称其为幺正矩阵 ("幺"表示最小的(单位的，单元的)，"正"表示规范的，归一化的，因此，"幺正 " 表示 "单位的"), 主要有几个原因：
(1) 是对单位 ( Unit**) 的扩展：** 正如一个复数 z 是一个**"单位"** (|z | = 1)一样( 如 ，复平面上的单位圆)，一个幺正矩阵 U 表现得就像复数域上的一个单位复数 。其保持向量长度(范数) 和内积(角度) 不变，即 幺正矩阵的行向量(或列向量)长度为1，内积( Hermite 内积)为零 。可以看作是实数正交矩阵在复数的推广。
(2) **保持范数(长度)不变：幺正矩阵能够保持复向量的长度(或范数)和角度(即内积)不变，确保变换不会拉伸或收缩空间，**这在量子物理学的概率计算中至关重要。
(3) 与正交矩阵类似：对于实数矩阵，与之等价的矩阵是正交矩阵，其同样保持了长度不变， 幺正矩阵将这种性质推广到了复数。
(4) 幺正矩阵基：一个幺正矩阵的行(和列)构成一个"单位基"，意味着它们是单位向量且(在复数的意义上)相互正交，单位正交向量------长度(范数)为1且 Hermite内积为零(正交的)。
另外，将"Unitary"译为"酉"，不过是取 "Unitary" 的首字母 U 并音译为"酉"。个人认为这种方式不能达其意，不可取，不能满足"信达雅"的原则，清晰明确达意比精简更为重要。