扩散模型（Diffusion Model）原理概述

一、核心思想

扩散模型（Diffusion Model）是一种生成模型，受热力学中扩散过程的启发，通过模拟数据从噪声中逐步去噪的过程来生成样本。其核心思想是渐进式地添加噪声（正向过程）和逐步去噪（反向过程）。 在正向过程中，逐步向数据中添加高斯噪声，最终将数据转化为纯噪声；在反向过程中，学习如何从噪声中逐步去噪，恢复出原始数据分布。

二、前向扩散过程（Forward Diffusion）

目标：将真实数据逐步"破坏"为随机噪声。

过程：对原始数据（如图像）进行 T 步微小的高斯噪声添加，每一步都让数据更接近纯噪声。

数学上，第t 步的状态 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x t x_t </math>xt由第 t-1 步的状态 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x t − 1 x_{t-1} </math>xt−1和噪声 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ϵ \epsilon </math>ϵ（服从标准正态分布）生成： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x t = α t ⋅ x t − 1 + 1 − α t ⋅ ϵ x_t=\sqrt{\alpha_t}\cdot x_{t-1}+\sqrt{1-\alpha_t}\cdot \epsilon </math>xt=αt ⋅xt−1+1−αt ⋅ϵ

其中， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> α t \alpha_t </math>αt是控制噪声强度的参数（ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 < α t < 1 ），随着 t 增大， x t 0<\alpha_t<1），随着 t 增大，x_t </math>0<αt<1），随着t增大，xt逐渐接近随机噪声。

结果 ：经过 T 步后，原始数据完全转化为与训练数据无关的高斯噪声 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x T x_T </math>xT。

三、逆向扩散过程（Reverse Diffusion）

目标：从纯噪声中逐步"恢复"出有意义的数据（即生成新样本）。

过程 ：训练一个神经网络（通常是 U-Net 结构）学习"去噪"能力 ------ 给定第 t 步的带噪声数据 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x t x_t </math>xt，预测它在第 t-1 步的状态 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x t − 1 x_{t-1} </math>xt−1（或直接预测添加的噪声 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ϵ \epsilon </math>ϵ）。

实际生成时，从随机噪声 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x T x_T </math>xT出发，利用训练好的网络反向迭代 T 步，每一步都去除部分噪声，最终得到接近真实数据分布的生成结果 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x 0 x_0 </math>x0。

核心：神经网络通过学习噪声的分布规律，实现从噪声到数据的"逆推"。

四、Python示例

构建一个基础的扩散模型，用于生成一维数据。

import matplotlib
matplotlib.use('TkAgg')

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
from torch.utils.data import DataLoader, TensorDataset

plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']  # 中文支持
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False  # 负号显示


# 设置随机种子，确保结果可复现
np.random.seed(42)
torch.manual_seed(42)


# 生成一维数据（示例数据：混合高斯分布）
def generate_data(n_samples=1000):
    # 生成两个高斯分布的数据
    cluster1 = np.random.normal(loc=-2.0, scale=0.5, size=(n_samples // 2, 1))
    cluster2 = np.random.normal(loc=2.0, scale=0.5, size=(n_samples // 2, 1))
    data = np.vstack([cluster1, cluster2])
    np.random.shuffle(data)
    return data


# 前向过程：逐步添加噪声
def forward_process(x_0, timesteps, betas):
    """
    执行扩散过程的前向步骤，逐步向数据添加噪声
    """
    # 计算alpha和alpha_bar
    alphas = 1. - betas
    alphas_cumprod = torch.cumprod(alphas, dim=0)

    # 随机选择一个时间步
    t = torch.randint(0, timesteps, (x_0.shape[0],), device=x_0.device)

    # 从标准正态分布采样噪声
    noise = torch.randn_like(x_0)

    # 计算x_t
    sqrt_alphas_cumprod_t = torch.sqrt(alphas_cumprod[t]).reshape(-1, 1)
    sqrt_one_minus_alphas_cumprod_t = torch.sqrt(1 - alphas_cumprod[t]).reshape(-1, 1)
    x_t = sqrt_alphas_cumprod_t * x_0 + sqrt_one_minus_alphas_cumprod_t * noise

    return x_t, t, noise


# 简单的神经网络模型，用于预测噪声
class SimpleDenoiser(nn.Module):
    def __init__(self, input_dim=1, hidden_dim=128):
        super(SimpleDenoiser, self).__init__()
        self.model = nn.Sequential(
            nn.Linear(input_dim + 1, hidden_dim),  # +1 for time embedding
            nn.SiLU(),
            nn.Linear(hidden_dim, hidden_dim),
            nn.SiLU(),
            nn.Linear(hidden_dim, input_dim)
        )

    def forward(self, x, t):
        # 将时间步t嵌入为模型输入的一部分
        t_emb = t.unsqueeze(-1).float()
        x_with_t = torch.cat([x, t_emb], dim=1)
        return self.model(x_with_t)


# 训练函数
def train_diffusion_model(model, dataloader, num_epochs=1000, lr=1e-3):
    device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
    model = model.to(device)
    optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=lr)
    criterion = nn.MSELoss()

    # 定义扩散过程的参数
    timesteps = 100
    betas = torch.linspace(0.0001, 0.02, timesteps, device=device)

    for epoch in range(num_epochs):
        epoch_loss = 0.0
        for batch in dataloader:
            x_0 = batch[0].to(device)

            # 前向过程：添加噪声
            x_t, t, noise = forward_process(x_0, timesteps, betas)

            # 模型预测噪声
            noise_pred = model(x_t, t)

            # 计算损失
            loss = criterion(noise_pred, noise)

            # 反向传播和优化
            optimizer.zero_grad()
            loss.backward()
            optimizer.step()

            epoch_loss += loss.item()

        if (epoch + 1) % 100 == 0:
            print(f"Epoch {epoch + 1}/{num_epochs}, Loss: {epoch_loss / len(dataloader):.6f}")

    return model


# 采样函数：从噪声中生成数据
def sample(model, sample_size=1000, timesteps=100):
    device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
    model = model.to(device)
    model.eval()

    # 定义扩散过程的参数
    betas = torch.linspace(0.0001, 0.02, timesteps, device=device)
    alphas = 1. - betas
    alphas_cumprod = torch.cumprod(alphas, dim=0)
    alphas_cumprod_prev = torch.cat([torch.tensor([1.], device=device), alphas_cumprod[:-1]])
    sqrt_recip_alphas = torch.sqrt(1.0 / alphas)
    posterior_variance = betas * (1. - alphas_cumprod_prev) / (1. - alphas_cumprod)

    # 从标准正态分布开始采样
    x = torch.randn(sample_size, 1, device=device)

    with torch.no_grad():
        for i in reversed(range(timesteps)):
            t = torch.full((sample_size,), i, device=device, dtype=torch.long)
            noise_pred = model(x, t)

            # 计算均值
            sqrt_recip_alphas_t = sqrt_recip_alphas[i]
            x = sqrt_recip_alphas_t * (x - betas[i] / torch.sqrt(1 - alphas_cumprod[i]) * noise_pred)

            # 添加方差（最后一步不添加）
            if i > 0:
                noise = torch.randn_like(x)
                posterior_variance_t = posterior_variance[i]
                x = x + torch.sqrt(posterior_variance_t) * noise

    return x.cpu().numpy()


# 主函数
def main():
    # 生成数据
    data = generate_data(n_samples=1000)
    data_tensor = torch.tensor(data, dtype=torch.float32)

    # 创建数据加载器
    dataset = TensorDataset(data_tensor)
    dataloader = DataLoader(dataset, batch_size=32, shuffle=True)

    # 初始化模型
    model = SimpleDenoiser(input_dim=1)

    # 训练模型
    trained_model = train_diffusion_model(model, dataloader, num_epochs=1000)

    # 生成样本
    samples = sample(trained_model, sample_size=1000)

    # 可视化结果
    plt.figure(figsize=(12, 5))

    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.hist(data, bins=50, density=True, alpha=0.7, label='真实数据')
    plt.title('真实数据分布')
    plt.xlabel('值')
    plt.ylabel('密度')
    plt.legend()

    plt.subplot(1, 2, 2)
    plt.hist(samples, bins=50, density=True, alpha=0.7, label='生成数据', color='orange')
    plt.title('扩散模型生成的数据分布')
    plt.xlabel('值')
    plt.ylabel('密度')
    plt.legend()

    plt.tight_layout()
    plt.show()


if __name__ == "__main__":
    main()

示例展示了扩散模型的主要过程：

数据生成 ：使用两个高斯分布的混合作为示例数据

前向过程 ：逐步向数据添加噪声，最终将数据转换为噪声

模型架构 ：使用一个简单的神经网络来学习预测噪声

训练过程 ：通过最小化预测噪声与实际噪声之间的差异来训练模型

采样过程：从噪声开始，逐步恢复数据

五、小结

扩散模型通过"加噪-去噪"的框架，将生成问题转化为对噪声分布的逐步修正，其核心在于反向过程的参数化学习和噪声调度的设计。这一方法在生成任务中展现了强大的潜力，成为当前生成式AI的重要技术之一。