开始算法的简单学习，今天先从二分查找法开始二分查找
代码实现：
int binary_search(int start,int end,int key){
int ret = -1;
int mid;
while (start <= end){
mid = start + ((end - start) >> 1);
if(arr[mid] < key)
start = mid + 1;
else if(arr[mid] > key)
end = mid - 1;
else{
ret = mid;
break;
}
}
return ret;
}这个是常用的二分法的代码实现，但是在这里我们仍然有很多要注意的地方：
while的循环条件与start end更新
有时候会疑惑循环不变量中我们什么时候使用<或<=。而在start和end的更新中不知道什么时候使用+1或-1或不变。我们需要理解什么情况下怎么去使用。
当有序数组的数据呈闭区间的时候，即[start,end]。我们令：
while(start <= end) //当我们考虑start=end时，条件必须成立，所以等于关系也是其中的一种情况
...
start = mid + 1 //由于每一次的比较中，先前mid的值经过了一次比较，所以需要+1-1来避免重复比较
...
end = mid - 1当有序数组存在开区间时，如[) (] ()，实际上它们都隐含了一个信息------start!=end，否则区间是不成立的，因此：
while(start < end) //当start=end时，搜索区间实际上是不成立的
...
start = ？？？ //这个和左右的开闭性相关，要考虑什么时候该包括，什么时候不该包括，应该明确有效的搜索区间的范围是什么
end = ？？？二分法解题思路
我们刚刚实现的是bsearch，即二分查找匹配的数值，实际上更多时候我们需要查找的是一个区间，即在数组内查找第一个不小于X的数值的下标：
int lower_bound(vector<int> arr, int target){
left = 0;
right = arr.size() - 1;
while (left <= right){
int mid = left + (right-left)>>1;
if (arr[mid] < target)
left = mid + 1;
else:
right = mid -1;
}
return left;
}现在，如果程序要求我们返回数组中一个=\>\>=\<\<=某个数的起始下标，实际上可以根据数组的有序性，将他们联系起来：
-
>= 这个是最基本的我们
binary_search的返回值X就是它的左边界，得到答案 X -
> 我们可以把这个问题的转换成，>= x+1 ，得到答案X+1
-
< 实际上就是>=问题的补集，得到答案(>=x) - 1
-
<= 是>问题的补集，我们可以得到答案 （>x）-1
以后遇到这种问题，都可以通过这种转换的思想来实现
练习：
704. 二分查找
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int start = 0;
int end = nums.size()-1;
while (start <= end){
int mid = end + (start-end)/2; //这里的除法我一开始使用了位运算，但是由于这里会涉及到有符号整数的运算，所以不能使用位运算
int num = nums[mid];
if(target > num)
start = mid + 1;
else if (target < num)
end = mid - 1;
else {
return mid;
}
}
return -1;
}
};34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
class Solution {
public:
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
int left = lower_bound(nums,target);
if(nums.empty() || left == nums.size() || nums[left]!=target ){
//当left==len(nums)时，说明数组中没有>=target的数
return vector<int>{-1,-1};
}
int right = lower_bound(nums,target+1)-1;
return vector<int>{left,right};
}
//返回>=target的第一个数
int lower_bound(vector<int>& nums,int target){
int start = 0;
int end = nums.size() - 1;
while (start <= end){
int mid = (end - start)/2 + start;
if(nums[mid] < target){
start = mid + 1;
}else{
end = mid -1;
}
}
return start;
}
};441. 排列硬币
class Solution {
public:
int arrangeCoins(int n) {
if(n==1) return 1;
int start = 1;
int end = n;
while (start <= end){
long mid = start + ((end - start)>>1);
if (mid*(mid+1)/2 <= n) //更新比较条件
start = mid +1;
else
end = mid-1;
}
return start-1; //由于得到的是大于n的阶层数，所以想要得到能完整标识的阶层数要-1
}
};367. 有效的完全平方数
class Solution {
public:
bool isPerfectSquare(int num) {
int start = 1;
int end = num;
while(start <= end){
long mid = start + ((end -start)>>1);
if(mid*mid==num){
return true;
}else if(mid*mid >num){
end = mid-1;
}else{
start = mid +1;
}
}
return false;
}
};