算法笔记之堆排序

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系列文章目录

计算矩阵的鞍点个数

算法-比较排序

为什么比较排序算法的时间复杂度下界是 Ω(n log n)?

算法笔记之堆排序


一. 堆排序(Heap Sort)

堆排序是一种高效的排序算法,它利用了二叉堆这种数据结构来实现。堆排序的时间复杂度为O(nlogn),且是原地排序算法(不需要额外的存储空间)。

1.堆的基本概念

堆是一种特殊的完全二叉树,满足以下性质:

  • 最大堆:每个节点的值都大于或等于其子节点的值
  • 最小堆:每个节点的值都小于或等于其子节点的值

在堆排序中,我们通常使用最大堆。

2.堆排序的基本步骤

  1. 建堆(Heapify):将无序数组构建成一个堆
  2. 排序:
    • 将堆顶元素(最大值)与最后一个元素交换
    • 缩小堆的范围(排除最后一个元素)
    • 对新的堆顶元素进行堆调整(Heap Adjust)
    • 重复上述过程直到堆的大小为1

3.C语言实现代码

cpp 复制代码
#include <stdio.h>

// 交换两个元素的值
void swap(int *a, int *b) {
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

// 堆调整函数(下沉操作)
// arr: 待调整的数组
// n: 数组长度
// i: 当前需要调整的节点下标
void heapAdjust(int arr[], int n, int i) {
    int largest = i;        // 初始化最大值为当前节点
    int left = 2 * i + 1;   // 左子节点
    int right = 2 * i + 2;  // 右子节点

    // 如果左子节点存在且大于当前最大值
    if (left < n && arr[left] > arr[largest]) {
        largest = left;
    }

    // 如果右子节点存在且大于当前最大值
    if (right < n && arr[right] > arr[largest]) {
        largest = right;
    }

    // 如果最大值不是当前节点,交换并继续调整
    if (largest != i) {
        swap(&arr[i], &arr[largest]);
        heapAdjust(arr, n, largest);  // 递归调整受影响的子树
    }
}

// 建堆函数
void buildHeap(int arr[], int n) {
    // 从最后一个非叶子节点开始,向上调整
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
        heapAdjust(arr, n, i);
    }
}

// 堆排序函数
void heapSort(int arr[], int n) {
    // 1. 构建最大堆
    buildHeap(arr, n);

    // 2. 逐个提取元素
    for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
        // 将当前最大值(堆顶)移动到数组末尾
        swap(&arr[0], &arr[i]);
        
        // 对剩余元素重新调整堆
        heapAdjust(arr, i, 0);
    }
}

// 测试代码
int main() {
    int arr[] = {12, 11, 13, 5, 6, 7};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    printf("原始数组: \n");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");

    heapSort(arr, n);

    printf("排序后数组: \n");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");

    return 0;
}

4.实现逻辑详解

1. 堆调整(heapAdjust)

堆调整(也称为"下沉"操作)是堆排序的核心操作,它确保以某个节点为根的子树满足堆的性质。

  • ​参数​​:

    • arr: 待调整的数组
    • n: 当前堆的大小
    • i: 需要调整的节点索引
  • ​步骤​​:

    1. 找到当前节点、左子节点和右子节点中的最大值
    2. 如果最大值不是当前节点,交换它们
    3. 递归调整受影响的子树

2. 建堆(buildHeap)

建堆是将一个无序数组转换为堆的过程。

  • ​关键点​​:

    • 从最后一个非叶子节点开始(索引为n/2-1)向前调整
    • 这样能确保每次调整时,子树已经是堆
  • ​为什么从n/2-1开始​​:

    • 因为叶子节点本身已经是堆(没有子节点)
    • 最后一个非叶子节点是第一个可能有子节点的节点

3. 堆排序(heapSort)

堆排序的主函数,完成整个排序过程。

  • ​步骤​
    1. 首先构建最大堆
    2. 然后重复以下操作直到堆大小为1:
      • 将堆顶元素(最大值)与当前堆的最后一个元素交换
      • 堆大小减1
      • 对新的堆顶元素进行堆调整

5.时间复杂度分析

  • ​建堆​:O(n) - 看似是O(nlogn),但实际计算是O(n)
  • ​排序阶段​:O(nlogn) - 每次堆调整是O(logn),共n-1次
  • ​总体​:O(nlogn)

堆排序是原地排序,不需要额外的存储空间(除了递归调用栈,可以改为迭代实现来避免)。

6.总结

堆排序是一种高效的排序算法,特别适合处理大规模数据。它的主要优势在于最坏情况下也能保持O(nlogn)的时间复杂度,并且是原地排序。理解堆排序的关键在于掌握堆的调整和建堆过程。

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