前言
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文章目录
- 前言
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- 一、评估体系设计背景
- 二、评估体系理论基础
- [三、接近度指标（Closeness Metric）](#三、接近度指标（Closeness Metric）)
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- [1. 传统 Error Ratio（ER）](#1. 传统 Error Ratio（ER）)
- [2. 改进的 Modified Error Ratio（MER）](#2. 改进的 Modified Error Ratio（MER）)
- [四、多样性指标（Diversity Metric）](#四、多样性指标（Diversity Metric）)
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- [1. 核心步骤（Cell-based 流程）](#1. 核心步骤（Cell-based 流程）)
- [2. 关键参数 β \beta β的影响](#2. 关键参数 β \beta β的影响)
- [3. 指标含义](#3. 指标含义)
- 五、体系价值
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论文引用：
Qiang Long, Changzhi Wu, Tingwen Huang, Xiangyu Wang,
A genetic algorithm for unconstrained multi-objective optimization,
Swarm and Evolutionary Computation,
Volume 22,
2015,
Pages 1-14,
ISSN 2210-6502,
这部分内容围绕多目标遗传算法（MOGAs）评估体系展开，核心是构建能衡量算法性能的指标，从逼近真实 Pareto 前沿的程度（ closeness ） 和 解集分布多样性（ diversity ） 两维度设计，具体总结如下：
一、评估体系设计背景
多目标遗传算法（MOGAs）输出 Pareto 近似解集 而非单一最优解，直接对比算法性能困难。需建立评估体系，从"解与真实 Pareto 前沿的接近度"和"解的分布多样性"两个核心维度，量化衡量 MOGAs 的数值性能。
二、评估体系理论基础
多目标优化本质融合两种策略：
- 逼近性（Closeness）：最小化解集与真实 Pareto 前沿的距离，类似单目标优化"找最优解"；
- 多样性（Diversity）：最大化解集在目标空间的分布广度，类似多峰优化"找多最优解"。
评估体系围绕这两个策略，设计接近度指标（Closeness metric）和多样性指标（Diversity metric）。
三、接近度指标（Closeness Metric）
目标：衡量解集与真实 Pareto 前沿（ P ∗ \mathcal{P}^* P∗）的接近程度，核心优化传统指标的缺陷。
1. 传统 Error Ratio（ER）
- 原理 ：统计解集 Q Q Q中不属于 真实 Pareto 前沿的解数量，计算占比：
ER = ∑ i = 1 ∣ Q ∣ e i ∣ Q ∣ , e i = { 1 若 x i ∈ Q 且 x i ∉ P ∗ 0 若 x i ∈ Q 且 x i ∈ P ∗ \text{ER} = \frac{\sum_{i=1}^{|Q|} e_i}{|Q|}, \quad e_i = \begin{cases} 1 & \text{若 } x_i \in Q \text{ 且 } x_i \notin \mathcal{P}^* \\ 0 & \text{若 } x_i \in Q \text{ 且 } x_i \in \mathcal{P}^* \end{cases} ER=∣Q∣∑i=1∣Q∣ei,ei={10若 xi∈Q 且 xi∈/P∗若 xi∈Q 且 xi∈P∗ - 缺陷 ：仅严格区分"是否属于 P ∗ \mathcal{P}^* P∗"，无法体现"接近但非严格属于"的解，对接近度衡量不足。
2. 改进的 Modified Error Ratio（MER）
- 优化思路 ：引入"解到真实 Pareto 前沿的距离 d i d_i di"，用指数函数软化严格判定：
e i = e − α d i , d i = min P ∈ P ∗ d ( x i , P ) e_i = e^{-\alpha d_i}, \quad d_i = \min_{P \in \mathcal{P}^*} d(x_i, P) ei=e−αdi,di=P∈P∗mind(xi,P)
（ α ∈ [ 1 , 4 ] \alpha \in [1,4] α∈[1,4]为参数， d ( ⋅ ) d(\cdot) d(⋅)为欧氏距离等度量方式） - 计算 ：改进后指标仍按比例计算：
MER = ∑ i = 1 ∣ Q ∣ e i ∣ Q ∣ \text{MER} = \frac{\sum_{i=1}^{|Q|} e_i}{|Q|} MER=∣Q∣∑i=1∣Q∣ei - 优势 ： e i ∈ ( 0 , 1 ] e_i \in (0,1] ei∈(0,1]，距离越近 e i e_i ei越接近 1，MER 越大说明解集整体越接近真实 Pareto 前沿。
四、多样性指标（Diversity Metric）
目标：衡量解集在目标空间的分布均匀性，采用**基于单元格划分（cell-based）**的方法。
1. 核心步骤（Cell-based 流程）
- Step 1 ：输入 Pareto 前沿的上下界（ u b , l b ub, lb ub,lb），设置维度分段数 β \beta β（控制网格精细度）；
- Step 2 ：将目标函数空间按 β \beta β分段，划分为单元格（cell）网格；
- Step 3：遍历解集中的每个解，若解落在单元格内，标记该单元格为"有解（indicator=1）"；
- Step 4 ：统计标记为 1 的单元格数量 M M M，计算多样性指标：
R = M ∣ Q ∣ R = \frac{M}{|Q|} R=∣Q∣M
2. 关键参数 β \beta β的影响
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β \beta β过小（网格过粗）：解易集中在少数单元格，无法区分分布差异；
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β \beta β过大（网格过细）：每个解可能单独占一个单元格，同样无法有效评估多样性；
- 建议 ： β \beta β设为接近或略大于种群规模 ，保证 R ∈ ( 0 , 1 ] R \in (0,1] R∈(0,1]，合理反映分布多样性。
3. 指标含义
R R R越大，说明解分布在更多单元格中，解集多样性越好（如示例中 20 个解分布对应 R = 13 / 20 = 0.65 R=13/20=0.65 R=13/20=0.65）。
五、体系价值
通过"接近度（MER）"和"多样性（ R R R）"两个指标，可量化对比不同 MOGAs 的性能：
- MER 反映算法寻优精度（是否接近真实 Pareto 前沿）；
- R R R反映算法解的分布质量（是否均匀覆盖前沿）。
二者结合，为多目标遗传算法的改进、对比提供了可量化的评估框架，尤其适用于测试问题（已知 Pareto 前沿）的算法验证。