快速上手大模型:机器学习5(逻辑回归及其代价函数)

目录

[1 逻辑回归](#1 逻辑回归)

[1.1 肿瘤分类示例](#1.1 肿瘤分类示例)

[1.2 逻辑函数(Logistic function)](#1.2 逻辑函数(Logistic function))

[1.3 逻辑回归模型](#1.3 逻辑回归模型)

[1.4 代码表达](#1.4 代码表达)

[2 决策边界(Decision boundary)](#2 决策边界(Decision boundary))

[2.1 定义](#2.1 定义)

[2.2 推导](#2.2 推导)

[3 逻辑回归的代价函数](#3 逻辑回归的代价函数)

[3.1 数据集](#3.1 数据集)

[3.2 代价函数构建](#3.2 代价函数构建)

[3.3 简化代价函数](#3.3 简化代价函数)

[4 梯度下降](#4 梯度下降)


1 逻辑回归

1.1 肿瘤分类示例

线性回归不适用这种分类,会改变肿瘤判断的标准,详情如下:

图中o为良性、x为恶性,是否为肿瘤阀值假设为0.5,则蓝色竖线(决策边界Decision boundary)左侧被判断为良性、右侧被判断为恶性;

当新增一个恶性肿瘤样本,线性回归最佳拟合曲线变成绿色的,阀值继续使用0.5时,样本中是恶性肿瘤的被判断为良性,原判断结论改变,预测有误。

1.2 逻辑函数(Logistic function)

逻辑函数也称(sigmoid function),定义式为,图像如下右图。

1.3 逻辑回归模型

模型:

逻辑函数:

逻辑回归模型:
肿瘤分类例子:

x:肿瘤大小

y:肿瘤良性/恶性的概率

如果,则表示70%的概率肿瘤为恶性。

1.4 代码表达
复制代码
import numpy as np
%matplotlib widget
import matplotlib.pyplot as plt
from plt_one_addpt_onclick import plt_one_addpt_onclick
from lab_utils_common import draw_vthresh
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')

# Input is an array. 
input_array = np.array([1,2,3])
exp_array = np.exp(input_array)

print("Input to exp:", input_array)
print("Output of exp:", exp_array)

# Input is a single number
input_val = 1  
exp_val = np.exp(input_val)

print("Input to exp:", input_val)
print("Output of exp:", exp_val)

def sigmoid(z):
    """
    Compute the sigmoid of z

    Args:
        z (ndarray): A scalar, numpy array of any size.

    Returns:
        g (ndarray): sigmoid(z), with the same shape as z
         
    """

    g = 1/(1+np.exp(-z))
   
    return g

# Generate an array of evenly spaced values between -10 and 10
z_tmp = np.arange(-10,11)

# Use the function implemented above to get the sigmoid values
y = sigmoid(z_tmp)

# Code for pretty printing the two arrays next to each other
np.set_printoptions(precision=3) 
print("Input (z), Output (sigmoid(z))")
print(np.c_[z_tmp, y])

输出:

复制代码
Input (z), Output (sigmoid(z))
[[-1.000e+01  4.540e-05]
 [-9.000e+00  1.234e-04]
 [-8.000e+00  3.354e-04]
 [-7.000e+00  9.111e-04]
 [-6.000e+00  2.473e-03]
 [-5.000e+00  6.693e-03]
 [-4.000e+00  1.799e-02]
 [-3.000e+00  4.743e-02]
 [-2.000e+00  1.192e-01]
 [-1.000e+00  2.689e-01]
 [ 0.000e+00  5.000e-01]
 [ 1.000e+00  7.311e-01]
 [ 2.000e+00  8.808e-01]
 [ 3.000e+00  9.526e-01]
 [ 4.000e+00  9.820e-01]
 [ 5.000e+00  9.933e-01]
 [ 6.000e+00  9.975e-01]
 [ 7.000e+00  9.991e-01]
 [ 8.000e+00  9.997e-01]
 [ 9.000e+00  9.999e-01]
 [ 1.000e+01  1.000e+00]]

2 决策边界(Decision boundary)

2.1 定义

用于决策判断的分割线。

2.2 推导

当逻辑回归模型为

如果,则,输出,此时预测为恶性。

另w1=w2=1,b=-3

则决策边界为,即

非线性决策边界同理。

3 逻辑回归的代价函数

3.1 数据集

m为训练样本数量,m为特征,y为目标标签,逻辑回归模型为

3.2 代价函数构建

逻辑回归的代价函数不用平方差误差函数,会出现如上右图所示非凸代价函数(non-convex),即多个局部最小值情况。

因此,另损失,函数式如下:

当真实值为1,预测值越接近1,损失L就越小;

当真实值为0,预测值越接近0,损失L就越小。

3.3 简化代价函数

损失:

代价函数:

4 梯度下降

代价函数:

梯度下降:

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