【科普】贝叶斯神经网络与分形神经网络

贝叶斯神经网络

贝叶斯神经网络（Bayesian Neural Network，BNN ）是一类结合了贝叶斯推断 与神经网络 的模型。它的核心思想是：不像传统神经网络那样学习固定的参数值（即网络权重），BNN 会学习这些参数的概率分布 。这样可以更好地量化不确定性，提高模型在不确定环境下的鲁棒性。

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🔧 传统神经网络 vs 贝叶斯神经网络

特点	传统神经网络	贝叶斯神经网络
参数（权重）	固定值（点估计）	概率分布
输出	单值预测	预测分布
不确定性表示	没有或依赖于 dropout 等近似方法	内在地建模参数和预测的不确定性
优点	高效、易训练	不确定性建模、可避免过拟合
缺点	不提供置信度	推理成本高、训练复杂

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🧠 BNN 的核心思想

BNN 采用贝叶斯公式：

P ( θ ∣ D ) = P ( D ∣ θ ) P ( θ ) P ( D ) P(\theta | D) = \frac{P(D | \theta) P(\theta)}{P(D)} P(θ∣D)=P(D)P(D∣θ)P(θ)

其中：

• θ \theta θ：模型参数（如网络权重）
• P ( θ ) P(\theta) P(θ)：先验分布
• P ( D ∣ θ ) P(D|\theta) P(D∣θ)：似然函数
• P ( θ ∣ D ) P(\theta|D) P(θ∣D)：后验分布

我们不再学习一个确定的 θ \theta θ，而是学习其后验分布。

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🔁 推理过程

由于后验分布一般不可解析，BNN 常用近似推理方法：

常见推理方法包括：

1. 变分推断（Variational Inference）

   用一个简单的分布 q ( θ ) q(\theta) q(θ) 去近似真实的后验分布 P ( θ ∣ D ) P(\theta | D) P(θ∣D)。

2. 马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）采样

   精度高但计算开销大。

3. 贝叶斯 dropout（Monte Carlo Dropout）

   在测试时启用 dropout 多次，近似后验采样，简单有效。

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✅ BNN 的优势

• 提供预测的不确定性（例如医疗、自动驾驶中的决策更可靠）
• 抑制过拟合（通过先验正则）
• 可与主动学习、强化学习等结合良好

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🚫 挑战

• 训练成本高（需要估计后验分布）
• 模型复杂度增加
• 推理速度慢于传统网络

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🧪 PyTorch 中的 BNN 示例（简化版）

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F

class BayesianLinear(nn.Module):
    def __init__(self, in_features, out_features):
        super().__init__()
        self.w_mu = nn.Parameter(torch.Tensor(out_features, in_features).normal_(0, 0.1))
        self.w_logvar = nn.Parameter(torch.Tensor(out_features, in_features).normal_(-3, 0.1))
    
    def forward(self, x):
        epsilon = torch.randn_like(self.w_mu)
        w_sample = self.w_mu + torch.exp(0.5 * self.w_logvar) * epsilon
        return F.linear(x, w_sample)

# 用法类似普通神经网络

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📚 推荐资源

• 论文：《Weight Uncertainty in Neural Networks》（Blundell et al., 2015）

• 库：

  • Pyro（PyTorch 上的概率编程框架）
  • TensorFlow Probability
  • Bayes-by-Backprop

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分形神经网络

分形神经网络（Fractal Neural Network, FNN）是一类受自然界分形结构 启发的神经网络结构。它的核心理念是：通过自相似（self-similar）结构 来构建深度网络，以提高模型的表达能力和泛化能力，同时缓解梯度消失或爆炸等深度网络中的常见问题。

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🧠 什么是分形结构？

在数学中，分形（Fractal）是具有自相似性的结构------整体与局部在形态上是相似的。例如：雪花、费尔南德斯三角形、树木、血管等自然结构。

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🔧 分形神经网络的核心结构

分形神经网络中，一个典型的模块通过递归组合更小的网络结构来构造大网络，如图：

F(C) = [F(C), F(C)] + C

这意味着：一个大的网络由多个小网络的组合构成，且每个小网络结构和大的结构是一样的（递归自我复制）。

🎯 举例：FractalNet（ICLR 2017）

FractalNet 是一个代表性的分形神经网络架构，由德国波恩大学提出。其特点是：

• 多个路径、不同深度：网络中的每个分支代表一个不同深度的子网络
• 自相似结构：使用统一的模块递归构建
• drop-path 正则化：训练时随机丢弃某些路径，防止过拟合并增强鲁棒性

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🏗️ 构造原理

一个深度为 n 的 Fractal Block 定义为：

F n ( x ) = Concat ( F n − 1 ( F n − 1 ( x ) ) , F n − 1 ( x ) ) F_{n}(x) = \text{Concat}(F_{n-1}(F_{n-1}(x)), F_{n-1}(x)) Fn(x)=Concat(Fn−1(Fn−1(x)),Fn−1(x))

其中 F_0 是基础卷积模块。

每一层都由前面层的重复结构构建，最终形成"树状结构"。

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✅ 优势

优势	说明
多路径学习	类似 ResNet 的跳跃连接，多个深度路径并行
稀疏激活	每个样本可能只激活部分路径，形成类似 ensemble 效果
容易训练	由于浅层路径存在，梯度传导不再依赖太深的网络
自动选择路径	drop-path 类似强化学习中的 policy sampling，可自动选择最优深度

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🧪 FractalNet 的 PyTorch 伪代码结构

class FractalBlock(nn.Module):
    def __init__(self, conv, depth):
        super().__init__()
        self.depth = depth
        if depth == 1:
            self.block = conv()
        else:
            self.left = FractalBlock(conv, depth-1)
            self.right = FractalBlock(conv, depth-1)
    
    def forward(self, x):
        if self.depth == 1:
            return self.block(x)
        else:
            left = self.left(self.left(x))
            right = self.right(x)
            return (left + right) / 2

你可以将 conv() 替换为任意的 CNN 层模块。

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🤔 分形神经网络 vs ResNet vs DenseNet

特性	ResNet	DenseNet	FractalNet
跳跃连接	是	是	是（结构性）
多路径结构	否	否	是
自动路径选择	否	否	是（drop-path）
模块构造方式	手动	累积连接	递归分形构造

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📚 推荐资源

• 论文：FractalNet: Ultra-Deep Neural Networks without Residuals
• 视频讲解：[YouTube 搜索 "FractalNet Explained"]
• PyTorch实现示例：[GitHub 上搜索 "FractalNet PyTorch"]

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如果你想我为你：

• 画出 FractalNet 的结构图
• 写一个完整的 FractalNet 网络代码
• 分析它在图像分类或NLP中的表现