Batching and Matching for Food Delivery in Dynamic Road Networks论文学习
这篇论文提出了FOODMATCH方法。一种基于最小权二分图匹配的高效实时送餐派单算法。将订单-车辆分配转化为带权二分图匹配，并以最佳优先搜索构建精简子图，实现多项式时间近似；把订单批次化建模为图聚类，并利用角距离预测车辆动态位置，显著降低平均送达时间。大规模真实数据验证其优于基线策略且满足在线需求。
建模
• 路网：时变有向图 G=(V,E,τ(t))，τ(t) 为实时通行时间。
• 订单：o=(oʳ,oᶜ,oᵗ,oᶦ,oᵖ)，分别表示取餐点、送达点、请求时间、商品数、备餐时长。
• 车辆：实时位置 loc(v,t)，容量 MAXO 单/MAXI 件，按最快路径执行。
关键度量
• EDT(o,v)=max{time(A)+firstMile(o,v), oᵖ}+lastMile(o,v)
• SDT(o)=oᵖ+SP(oʳ,oᶜ) 为理论下界
• XDT(o)=EDT−SDT 为额外延迟
问题定义（FDP）
在线输入订单流 O 与车辆流 V，求指派 A 最小化Σo XDT(o,A)·(1−ρ(o))+ρ(o)·Φ，
其中 ρ(o)=1 表示拒单，Φ 为高额惩罚。
复杂度
单车辆、零备餐特例等价于 SS-OL-DARP-F；据 Krumke [17] 可知在线 FDP 不仅 NP-hard，且对任意 ε>0 无 n^{1−ε} 近似。
问题不可近似，必须依赖可扩展启发式算法（如后文 FOODMATCH）。
机制
• 以长度 Δ 的累积窗口收集未派单订单 O(τ) 与可用车辆 V(τ)。
• 每次迭代选 (o*,v*) = argmin mCost(o,v)，其中mCost(o,v)=Cost(v∪{o})−Cost(v)，Cost(v)=Σo∈v XDT(o,v)。
• 直至无可行指派或容量用尽为止。
每轮需枚举 ≤2MAXO 位置的全排列并求最短路径，总时间 O(MAXO (MAXO!) q(mn+n^2))，其中 q 为单源最短路耗时。
Δ 的权衡
• 增大 Δ：批量大→潜在成本降低，但待派单延迟↑、每窗口计算量↑。
• 减小 Δ：延迟↓，计算频繁，车辆位置查询次数↑。无理论保证，需实验调优。
FOODGRAPH 最小权匹配
• 构造二分图：U₁=订单，U₂=车辆，边权 w(o,v)=mCost(o,v)。
• Kuhn-Munkres 求最小权完美匹配，实例比 Greedy 优 1 单位。
• 复杂度 O(nm·MAXO·MAXO!·q + k²k')，n=|O|, m=|V|, k=min(n,m)。
• 缺陷：无批处理；n>m 时大量拒单；权重在求解期间可能过时。
批处理（Batching）
思想
将可同车配送的多单合并为"批次节点"，再参与二分图匹配。
方法
• 构建 Order Graph G_O：节点=当前批次，边当且仅当合并后容量不超 MAXO/MAXI；边权
w_ij = Cost(v, i∪j) -- [Cost(v_i,i)+Cost(v_j,j)]。
• 迭代聚类：每轮合并最小 w_ij 的两批次，更新边权；当 AvgCost(G_O) 超过阈值 Φ 时停止。
• AvgCost 随迭代单调不降→算法收敛。
建图 O(n²q)；共 ≤n--1 轮，每轮 O(n log n + n·MAXO·MAXO!·q)；总时间Õ(n²·MAXO·MAXO!·q)。
动机
• 实证发现：把"所有车辆"和"所有订单"按车辆到餐厅的实际路网距离排序，95 % 的车最终被分到的那个订单，都排在自己"最近 10 % 的候选订单"里→可仅保留最近 k 批订单的边。
• 挑战：如何在不逐一算距的情况下找出这些"最近批次"。
方法：Best-First 稀疏化
• 对每辆车 v：
-- 仅考虑各批次的首取餐节点集合 V⊂V。
-- 由 loc(v,t) 启动最佳优先搜索（BFS+优先队列），按最短路径长度递增访问节点。
-- 每遇节点 u，即连边 v→所有以 u 为首节点的批次，权重用批级 mCost(·)。
-- 一旦 v 的度数达 k 或队列为空，停止搜索，其余批次以拒单惩罚 Φ 建边。
复杂度削减
• 完整图需 O(n·m·MAXO·MAXO!·q)。
• 稀疏化后每辆车仅连 ≤k 条边，整体降为 O(m·(k log|V| + k·MAXO·MAXO!·q))。
引理
若某批次与 v 的真实边权 <Φ，则该批次必被算法发现并位于前 k 最近。
动态问题
FOODGRAPH 构建期间车辆持续移动，原"最近批次"可能在完成时已非最近，导致指派失效。
解决思路
Angular Distance
• 用方位角（bearing）量化车辆前进方向与候选节点方向之间的夹角 θ∈[0,π]；
• 定义角距 adist = (1--cos θ)/2 ∈[0,1]，0 表示同向，1 表示反向。
• 边权改为时间距离与角距的加权：
w(e,t)= (1--λ)·adist + λ·τ(e,t)/τ_max
重排（Reshuffling）
利用餐厅备餐缓冲：凡尚未取餐的订单与车辆都可重新加入下一窗口的匹配池，及时修正过时指派。
整体流程（图 5）
累积窗口收集未派单 + 可重排订单 → 2. 批处理 → 3. 用角距+best-first 构建稀疏 FOODGRAPH → 4. Kuhn-Munkres 最小权匹配 → 输出指派。
数据集
• GrubHub（公开）+ Swiggy 三城 6 天全量订单（City A/B/C，B 最繁忙）。
• 路网来自 OSM，边权/备餐时间按 24 时段实时均值建模；GPS 轨迹已 map-matched。
实验结果
与 Reyes 比较
Reyes 仅用 Haversine 距离、同店批单 → 完全忽略道路拓扑；在 City B/C 日均额外延误（XDT）≈ FOODMATCH 的 10 倍。
在 GrubHub 公开集上差距缩小到 1.4 倍，原因：① FOODMATCH 无路网可用；② 订单量低，批处理/重排收益有限。
订单--车辆比越高的场景，Reyes 性能衰减越显著（午餐/晚餐高峰 XDT 峰值为 FOODMATCH 的 11--12 倍）。
与 Greedy 比较
全局目标优化带来 30 % 的 XDT 削减（City B 绝对值从 18.7 min → 13.1 min）。
等待时间 WT：
• City B 每日减少 2043 人·时；
• City C 每日减少 1987 人·时。
运营效率 Orders/Km 提升 20 %（City B 从 0.83 → 1.00 order/km）。
高并发时段（12--14 点、19--21 点）Greedy XDT 峰值比 FOODMATCH 高 38--42 %。
参数重要性
结论
FOODMATCH 在大规模真实数据上验证：相较 Reyes 将额外配送时间压缩一个数量级，比 Greedy 再降 30 %；车辆空驶减少、人时等待降低 40 %，且在百万级订单城市实时可部署，为外卖行业提供了可落地的全局优化框架与开源基准。