之前学的不扎实导致现在还得回来再学。
专栏指路：《再来一遍一定记住的算法（那些你可能忘记了的算法）》
前置知识：
生成树：在一个无向连通图 中，能够连接所有顶点的树结构。
点的度数：与这个点相连的边有多少条。
矩阵及矩阵乘法定义。
没学过行列式 的建议看我写的这个
（注意行列式这个非常重要！！一定要会！）
秩：矩阵的线性无关的行向量数量，高斯消元后有几个非零行，秩就是几。
前导：
求出一个无向连通图 的生成树并不难，但如果我们想求出图的所有生成树数量呢？
（如果你还不知道怎么求生成树，也许可以看看我的这篇最小生成树）
1.基尔霍夫矩阵
基尔霍夫矩阵（Kirchhoff matrix） ，由德国物理学家古斯塔夫·基尔霍夫发明。
后因定义与数学中的拉普拉斯矩阵高度重合，所以两者在中文语境里是相同的。
（后文中出现的拉普拉斯矩阵都指基尔霍夫矩阵）
定义：当 时，
为
点的度数。
当 时，如果两点有边相连，
为节点 i 和 j 之间边数的负值
（但因为重边一般会特判，直接等于 也可以），反之为
。
也写作 。
其中 是拉普拉斯矩阵 ，
是度矩阵 （只有
不为
，
= 点
的度数）。
是邻接矩阵 （ 当
时为
; 其他时候，如果两点有边相连 ，
为
，反之为
）。
通常教程会告诉你：
啊，矩阵树定理 就是给无向连通图 建个基尔霍夫矩阵，去掉某一行某一列，
再求个行列式 ，就是这个图的生成树数量啦！
道理都懂，但是生成树数量为什么会和行列式挂钩啊！！
2.拉普拉斯矩阵和关联矩阵
要想探究上面那个问题，我们要引入一个新的概念------
关联矩阵 ：称 是一个
矩阵，其中
如果顶点 i 是边 j 的一个端点，
如果 顶点 i 是边 j 的另一个端点（对每条边任意指定方向），否则
。
对于拉普拉斯矩阵 ，我们有：
等等，这个 是啥？
它是矩阵转置 （Transpose）是指将矩阵的行和列互换的操作。
对于一个矩阵 ，其转置记为
（也写作
）。
这么表示：
比如说这个矩阵：
它的转置就是：
再说回这个式子：
分类讨论 矩阵的每个元素：
对角元素 ：
= 顶点 i 的度数（因为每条与 i 相连的边贡献 ）
非对角元素 ：
如果 i 和 j 之间有一条边，则该项为 -1（因为 和
符号相反）；
如果 i 和 j 之间没有边，则为 0。
这正好就是拉普拉斯矩阵 的定义！
3.柯西---比内公式（Cauchy--Binet formula）及其应用
知道了这个 有啥用呢？
我们还得上点科技------柯西---比内公式。
公式具体长这个样子：
设 是
矩阵，
是
矩阵，其中
，则有：
其中求和是对所有从 中选取
个元素的子集
进行的，
表示
中选取
对应的列组成的
子矩阵，
表示
中选取
对应的行组成的
子矩阵。
我写的不严谨证明在这里，不建议看证明，直接背公式就行。
3.5.线性相关
在代入公式之前，我们还要对矩阵做处理。
设 为拉普拉斯矩阵去掉第 i 行第 i 列 得到的
矩阵。
为关联矩阵去掉第 i 行 得到的
矩阵。
为什么要这么做？首先我们知道生成树的边一定是 条。
但这不算最重要的原因，最重要的是最开始是拉普拉斯矩阵是线性相关的！
**线性相关的官方定义：**在线性代数里，矢量空间的一组元素中，
若没有矢量用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立。
反之则称为线性相关。
啊其实就是你用其他的元素一通计算捣鼓，能整出这个元素，那就是线性相关。
在矩阵中，把矩阵 的每一行 都看作一个 维向量，
如果有一行和其他行向量加减/放缩的结果相等，
即这个矩阵线性相关。
而在拉普拉斯/关联矩阵里，如果有几行向量加起来是 0 向量，
那么这个矩阵就是线性相关，行列式为 0。
但是线性相关的矩阵行列式为什么为 0 ？
我们把矩阵 的每一行 都看作一个 维向量，
而行列式 就是这** 个向量张成的面积**。
如果有两个向量线性相关 ，也就是一个是另一个的倍数，
那张出的面积肯定为 0。
（同学们可以自己试一下二阶和三阶矩阵，意会即可）
很明显，拉普拉斯矩阵的每一行都加起来得到的向量是为 0 的。
比如说图 ，它的拉普拉斯矩阵长这样：
每一列都单独加起来，得到 。
设 为第 i 行的向量表示，那么我们就有：
也就是 能被别的向量通过计算表示，线性相关。
这是一个很重要的点，我们知道方程组中的一个方程如果能被其他方程表示，
那么这个方程就是**"没用"** 的，也就是整个矩阵的秩为 。
更直接的，线性相关的矩阵的行列式都为 0！
因为有一行（一个方程）是"没用"的，相当于那一行都为 0。
而有一行都为 0 的矩阵的行列式为 0。
也就是原来的拉普拉斯矩阵是"没用"的！
为了让它变得有用，我们考虑去掉它的一行或者一列。
但不能只丢掉一行或者一列，因为柯西---比内公式要求最终乘积结果只能是方阵。
（而且你只求掉一行或者一列的话，那方程组不就多解或者无解了吗？！）
所以就把一列和一行同时丢掉。
再来说关联矩阵为什么要去掉一行。
在拉普拉斯矩阵 已经变成 的情况下，
当然是要去掉一行的了。
（不然最后乘出来是 的矩阵）
还有个原因，关联矩阵也是线性相关的！
不去掉行列式为 0，根本没法算。
（我服了怎么回事你俩）
话又说回来：
把这个 代入公式：
其中求和是对所有从边集 中选取
条边的子集
进行的，
表示
中选取
对应的列 组成的
子矩阵，
表示
中选取
对应的行 组成的
子矩阵。
（因为 是选对应的列，也就是边，所以子集
也是选边）
4.生成树与行列式的关系
有了这玩意，才算真正迈上正轨：
考虑选出来的 条边构成的图。
我们发现要不就是这样：
（有环不连通）
要不就是这样：
（无环联通/生成树）
同学们可以自己画一下，是不可能出现无环不连通的情况的。
因为你每加一条不成环的边，都会增加一个点，而边数 = 点数 - 1。
同样的，有环连通也不可能出现。
分类讨论下：
（1）有环不连通
根据上面这张图，构造关联矩阵。
（关于边的方向，我就默认从小连到大，这个不影响）
去掉最后一行：
很明显，这个矩阵是线性相关 （上面 4 行加起来是 0 向量）的，行列式为 0。
上面这公式统计的时候，遇到这种有环不连通的图，
行列式都为 0，相当于啥也没发生。
一般性的想一下，如果去掉的一行（点）不在环上。
那环所在的连通块 的行（点）一定线性相关。
（环连通块的边连的俩点一个 +1 一个 -1，加起来肯定是 0）
如果去掉的一行（点）在环上，但肯定还有其他连通块。
毕竟一个环要和点数一样的边数 ，要点数 = 边数 + 1，肯定还有别的连通块没环。
那其他连通块 的行（点）一定线性相关。
（和之前理由相同，其实只要有一小块是在去掉点之前就连通的，
并且也没被去掉点，那么那小块的行加起来肯定是 0 向量）
（2）无环连通/生成树
根据上面这张图，构造关联矩阵。
我们发现，无论去掉哪行，都不可能线性相关。
（虽然去掉一个点，图里还是会有连通块。
但我们去掉的是点，不是边，消失的边对另一点的影响还在。
多出来的影响会导致最终加起来的行向量，对应消失的边的那一维不可能为 0）
所以在这个求和式里，选出的 条边只有在无环连通/生成树的情况下，
行列式才不为 0，可以被统计到。
这就是为什么：
啊，矩阵树定理 就是给无向连通图 建个基尔霍夫矩阵，去掉某一行某一列，
再求个行列式 ，就是这个图的生成树数量啦！
既然学完了，那就再看看矩阵树定理的官方定义吧：
矩阵---树定理（matrix-tree theorem）：
图的生成树数目 等于其基尔霍夫矩阵 的任一代数余子式行列式值。
更准确地说，对于一个 n 个点 m 条边的无向图，
其生成树总数 为其对应的基尔霍夫矩阵的 n-1 阶余子式（行列式）。
5.代码实现
没学过高斯消元指路这里。
全套基尔霍夫矩阵行列式求生成树数量的代码：
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 110;
LL K[N][N], ans;
int n, m;
void add(int x, int y) {
K[x][x]++; K[y][y]++;
K[x][y]--; K[y][x]--;
}
void gauss() {
n--; // 去掉一行，现在处理(n-1)×(n-1)子矩阵
int r = 1;
ans = 1;
for (int c = 1; c <= n; c++) {
for (int i = r + 1; i <= n; i++) {
while (K[i][c]) {
LL bs = K[r][c] / K[i][c];
for (int j = 1; j <= n; j++) {
K[r][j] -= K[i][j] * bs;
}
swap(K[r], K[i]);
ans *= -1;
}
}
if (K[r][c] != 0) {
r++;
}
}
// 检查是否满秩（图是否连通）
if (r <= n) {
cout << 0 << "\n"; // 非连通图，生成树数量为0
return;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ans *= K[i][i];
}
cout << abs(ans) << "\n"; // 取绝对值确保非负
}
int main() {
cin >> n >> m;
memset(K, 0, sizeof(K));
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int x, y;
cin >> x >> y;
if (x != y) { // 忽略自环（不影响生成树）
add(x, y);
}
}
gauss();
return 0;
}