【数学】线性代数知识点总结

0.前言

线性代数是数学的一个分支，线性代数的研究对象是向量、向量空间（又称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。即线性代数主要处理线性关系问题，线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。

线性（Linear）是指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。

根据同济大学数学系编著的《线性代数》教材，将知识点按行列式、矩阵、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换五部分进行归纳总结。

1.行列式

1.1 定义

矩阵的行列式，determinate（简称det），是基于该矩阵的行列数据所计算的一个标量，n阶行列式的几何意义是以n个向量为邻边的n维图形的体积。

注意：行列式的行数=列数，行列式引入求解线性方程组（后面将提到）

1.2 性质

性质1：行列互换，其值不变
即行列式与它的转置行列式的值相等，∣A∣=∣AT∣|A|=|A^T|∣A∣=∣AT∣
性质2：行列式某行（列）的元素全为0，行列式的值为0 。
几何上可以理解为该n阶行列式的值等于n维图形的体积，现在有一个维度（向量）长度为0，则该图形这个维度上体积为0。
放在定义式中，累加的每一项都是0，因为累加的每一项是取自不同行不同列的n个元素乘积。
性质3：行列式的某两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零
几何上理解为组成n维图形的n个向量中，有两向量（边）在同一直线上，故在该图形这个维度上体积为0。
在定义式中，成比例的项可以提出公因式，提出公因式后奇排列和偶排列的项会一一抵消（可以列一个简单的3阶行列式进行感受）
性质4：某行（列）所有的元素都是两个数的和，则可将其拆成两个行列式之和
如：∣a1+b1a2+b2a3+b3c1c2c3d1d2d3∣=∣a1a2a3c1c2c3d1d2d3∣+∣b1b2b3c1c2c3d1d2d3∣ \left|\begin {array}{c} a_1+b_1 &a_2+b_2 &a_3+b_3 \\ c_1 &c_2 &c_3 \\ d_1 &d_2 &d_3 \\ \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} a_1 &a_2 &a_3 \\ c_1 &c_2 &c_3 \\ d_1 &d_2 &d_3\\ \end{array}\right|+\left|\begin{array}{c} b_1 &b_2 &b_3 \\ c_1 &c_2 &c_3 \\ d_1 &d_2 &d_3\\ \end{array}\right| a1+b1c1d1a2+b2c2d2a3+b3c3d3 = a1c1d1a2c2d2a3c3d3 + b1c1d1b2c2d2b3c3d3
理解这件事情需要从定义式入手

定义式是多项的累加，而每项都包含不同行列的元素之积，这里的可拆其实就是定义式中进行乘法分配律。
注意：行列式拆是只拆某行（列），而矩阵A+B相加指的是所有元素相加。
性质5：两行（列）互换，行列式的值反号
反号是因为奇偶排列发生了改变，要理解这一点从定义中行列式的定义式入手，j1j2...jnj_1j_2...j_nj1j2...jn是排列，当为偶排列时带正号，为奇排列时带负号，行列式行（列）互换，奇偶排列改变，行列式的值反号。
性质6：某行（列）元素有公因子k（k≠0）k（k\neq0）k（k=0），则kkk可提到行列式外面
要理解性质6需要和性质5一样从行列式的定义式入手，某行（列）的元素都有公因子，代表定义式中累加的每一项都有公因子，那么相当于将每一项的这个公因子k提取到外面。
注意：行列式只是某行（列）公因子提到外面，而矩阵是每一个元素的公因子提到外面。
性质7：某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式的值不变
从定义式入手，结合定理4，可以将其"乘法分配律"，之后拆成原来的行列式与被加那行（列）替换为k倍加的那行的行列式相加，再根据性质3的理解，知道被加那行（列）替换为k倍加的那行的行列式为0。

1.3 行列式展开定理（公式）

1.3.1 余子式与代数余子式

定义：在n阶行列式中，划去元素aija_{ij}aij所在的iii行与jjj列的元，剩下的元不改变原来的顺序所构成的n-1阶行列式称为元素aija_{ij}aij的余子式。数学表示上记作MijM_{ij}Mij

如：∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣\left|\begin{array}{c} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33}\\ \end{array}\right| a11a21a31a12a22a32a13a23a33 中，a22a_{22}a22的余子式M22=∣a11a13a31a33∣M_{22}=\left|\begin{array}{c} a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \\ \end{array}\right|M22= a11a31a13a33
而根据MijM_{ij}Mij定义代数余子式Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}Aij=(−1)i+jMij

则在上面行列式中A22=(−1)2+2M22=∣a11a13a31a33∣A_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=\left|\begin{array}{c} a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \\ \end{array}\right|A22=(−1)2+2M22= a11a31a13a33
引理：一个n阶行列式，如果其中第iii行所有元素除(i,j)(i,j)(i,j)元aija_{ij}aij外都为零，那么这行列式等于aija_{ij}aij与它的代数余子式的乘积，即D=aijAijD=a_{ij}A_{ij}D=aijAij

这一引理可以根据行列式的计算式推导（将i行和j列包含的含0项全部划掉，仅剩含aija_{ij}aij的项，提出aija_{ij}aij后剩下的为代数余子式）。

1.3.2 行列式按行（列）展开法则

定义：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin (i=1,2,...,n)D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}\ \ \ (i=1,2,...,n)D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin (i=1,2,...,n)或D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj (j=1,2,...,n)D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}\ \ \ (j=1,2,...,n)D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj (j=1,2,...,n)
这个法则可以根据引理与性质4或行列式计算式推导得到。
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn=0 (i≠j)a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn} =0\ \ \ (i\neq j)ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn=0 (i=j)或a1iA1j+a2iA2j+...+aniAnj=0 (i≠j)a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+...+a_{ni}A_{nj}=0\ \ \ (i\neq j)a1iA1j+a2iA2j+...+aniAnj=0 (i=j)
推论的证明根据性质3：行列式的某两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零。

2.矩阵

2.1 定义

由m×nm\times nm×n个数aij(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)a_{ij}(i=1,2,...,m;\ \ j=1,2,...,n)aij(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)排成的mmm行nnn列的数表a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮ ⋮am1am2⋯amn\begin{array}{c} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn}\\ \end{array}a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯ ⋯a1na2n⋮amn称为m行n列矩阵，简称m×nm\times nm×n矩阵，记作A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮ ⋮am1am2⋯amn)A=\left(\begin{array}{c} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn}\\ \end{array}\right)A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯ ⋯a1na2n⋮amn 简记为A=Am×n=(aij)m×n=(aij)A=A_{m\times n}=(a_{ij}){m\times n}=(a{ij})A=Am×n=(aij)m×n=(aij)。
这m×nm\times nm×n个数称为矩阵A的元素，简称为元。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

2.1.1 矩阵与行列式概念区分

2.1.2 矩阵与线性变换

线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系

由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换，也可以利用线性变换来解释矩阵的含义。

2.2 矩阵的运算

2.2.1 矩阵的加法

定义：设由两个m×nm\times nm×n矩阵A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij)和B=(bij)B=(b_{ij})B=(bij)，那么矩阵A与B的和记作A+B ，规定为A+B=(a11+b11a12+b12⋯a1n+b1na21+b21a22+b22⋯a2n+b2n⋮⋮ ⋮am1+bm1am2+bm2⋯amn+bmn)A+B=\left(\begin{array}{c} a_{11}+b_{11} &a_{12}+b_{12} &\cdots &a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} &a_{22}+b_{22} &\cdots &a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ &\vdots \\ a_{m1}+b_{m1} &a_{m2}+b_{m2} &\cdots &a_{mn}+b_{mn} \\ \end{array}\right)A+B= a11+b11a21+b21⋮am1+bm1a12+b12a22+b22⋮am2+bm2⋯⋯ ⋯a1n+b1na2n+b2n⋮amn+bmn
注意：只有两个矩阵同型时（行数等于行数、列数等于列数），这两个矩阵才能进行加法运算。
行列式加法是某行或某列加，矩阵是同型矩阵对应元素一一相加
矩阵加法的运算规律
1. 交换律 ：A+B=B+AA+B=B+AA+B=B+A
2. 结合律 ：(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)
3. 矩阵减法相当于：A−B=A+(−B)A-B=A+(-B)A−B=A+(−B)
  其中−B-B−B称为B的负矩阵，有：B+(−B)=OB+(-B)=OB+(−B)=O

2.2.2 数与矩阵相乘

定义：数λ\lambdaλ与矩阵AAA的乘积记作λA\lambda AλA或AλA\lambdaAλ，规定为λA=Aλ=(λa11λa12⋯λa1nλa21λa22⋯λa2n⋮⋮ ⋮λam1λam2⋯λamn)\lambda A=A\lambda=\left(\begin{array}{c} \lambda a_{11} &\lambda a_{12} &\cdots &\lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} &\lambda a_{22} &\cdots &\lambda a_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ &\vdots \\ \lambda a_{m1} &\lambda a_{m2} &\cdots &\lambda a_{mn} \\ \end{array}\right)λA=Aλ= λa11λa21⋮λam1λa12λa22⋮λam2⋯⋯ ⋯λa1nλa2n⋮λamn
行列式数乘是乘某行（列），矩阵数乘是乘每个元素
矩阵数乘的运算规律
1. 结合律 ：(λμ)A=λ(μA)(\lambda \mu)A=\lambda (\mu A)(λμ)A=λ(μA)
2. 分配律 ：(λ+μ)A=λA+μA(\lambda +\mu)A=\lambda A+\mu A(λ+μ)A=λA+μA，λ(A+B)=λA+λB\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda Bλ(A+B)=λA+λB

2.2.3 矩阵与矩阵相乘

定义：设A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij)是一个m×sm\times sm×s矩阵，B=(bij)B=(b_{ij})B=(bij)是一个s×ns\times ns×n矩阵，那么规定矩阵AAA与矩阵BBB的乘积是一个m×nm\times nm×n矩阵C=(cij)C=(c_{ij})C=(cij)，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj=∑k=1saikbkj(i=1,2,⋯ ,m; j=1,2,⋯ ,n)c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{is}b_{sj}=\sum^s_{k=1}a_{ik}b_{kj} \\(i=1,2,\cdots,m;\ j=1,2,\cdots,n)cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj=k=1∑saikbkj(i=1,2,⋯,m; j=1,2,⋯,n)并把此乘积记作C=ABC=ABC=AB

显然，只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘
矩阵乘法的运算规律
1. 结合律 ：(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)
2. 数乘的结合律 ：λ(AB)=(λA)B=A(λB)\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)λ(AB)=(λA)B=A(λB)
3. 分配律 ：A(B+C)=AB+AB，(B+C)A=BA+CAA(B+C)=AB+AB，(B+C)A=BA+CAA(B+C)=AB+AB，(B+C)A=BA+CA
4. 单位矩阵再矩阵乘法中作用类似于数字1 ：EmAm×n=Am×nEn=AE_mA_{m\times n}=A_{m\times n}E_n=AEmAm×n=Am×nEn=A
  推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵λE\lambda EλE与任何同阶方阵都是可交换的，即 ：(λEn)An=λAn=An(λEn)(\lambda E_n)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E_n)(λEn)An=λAn=An(λEn)

2.2.4 矩阵的幂运算

定义：设AAA是n阶方阵，定义A1=A，A2=A1A1，...，Ak+1=AkA1，A^1=A，A^2=A^1A^1，\dots，A^{k+1}=A^kA^1，A1=A，A2=A1A1，...，Ak+1=AkA1，
其中kkk为正整数，显然只有方阵的幂才有意义
矩阵的幂满足的运算规律
1. AkAl=Ak+lA^kA^l=A^{k+l}AkAl=Ak+l
2. (Ak)l=Akl(A^k)^l=A^{kl}(Ak)l=Akl

2.2.5 矩阵的转置

定义：把矩阵AAA的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做AAA的转置矩阵 ，记作ATA^TAT
注意：若A=ATA=A^TA=AT，则将A称为对称阵 ；若A=−ATA=-A^TA=−AT，则将A称为反对称阵。
转置矩阵的运算性质
1. (AT)T=A(A^T)^T=A(AT)T=A
2. (A+B)T=AT+BT(A+B)^T=A^T+B^T(A+B)T=AT+BT
3. (λA)T=λAT(\lambda A)^T=\lambda A^T(λA)T=λAT
4. (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT（穿脱原则）

2.2.6 方阵的行列式

定义：由nnn阶方阵AAA的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵AAA的行列式，记作detAdetAdetA或∣A∣|A|∣A∣。
注意：方阵与行列式是两个不同概念，nnn阶方阵是n2n^2n2个数按一定方式排列成的数表，而nnn阶行列式则是这个数表的数按一定的运算法则所确定的一个数。
由AAA确定的∣A∣|A|∣A∣满足的运算规律
1. ∣AT∣=∣A∣|A^T|=|A|∣AT∣=∣A∣（行列式性质1）
2. ∣λA∣=λn∣A∣|\lambda A|= \lambda^n|A|∣λA∣=λn∣A∣
3. ∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB|=|A||B|∣AB∣=∣A∣∣B∣

2.2.7 伴随矩阵

定义：行列式∣A∣|A|∣A∣的各个元素的代数余子式∣Aij∣|A_{ij}|∣Aij∣所构成的如下的矩阵A∗=∣A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋯⋯⋯⋯A1nA2n⋯Ann∣A^*=\left|\begin {array}{c} A_{11} &A_{21} &\cdots &A_{n1} \\ A_{12} &A_{22} &\cdots &A_{n2} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ A_{1n} &A_{2n} &\cdots &A_{nn} \\ \end{array}\right|A∗= A11A12⋯A1nA21A22⋯A2n⋯⋯⋯⋯An1An2⋯Ann 称为矩阵A的伴随矩阵。
伴随矩阵满足的性质：
AA∗=A∗A=∣A∣EAA^*=A^*A=|A|EAA∗=A∗A=∣A∣E

2.3 逆矩阵

2.3.1 定义

对于n阶矩阵AAA，如果有一个n阶矩阵BBB，使AB=BA=E，AB=BA=E，AB=BA=E，则说矩阵AAA是可逆的，并把矩阵BBB称为AAA的逆矩阵，简称逆阵。
若矩阵AAA是可逆的，那么AAA的逆矩阵是唯一的。
AAA的逆矩阵记作A−1A^{-1}A−1，即若AB=BA=E，则B=A−1AB=BA=E，则B=A^{-1}AB=BA=E，则B=A−1。

2.3.2 相关定理

若矩阵AAA可逆，则∣A∣≠0|A|\neq 0∣A∣=0
若∣A∣≠0|A|\neq 0∣A∣=0，则矩阵AAA可逆，且A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*A−1=∣A∣1A∗
由定理1和2可知，AAA是可逆矩阵的充分必要条件是∣A∣≠0|A|\neq 0∣A∣=0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

推论：

若AB=E（或BA=E）,则B=A−1AB=E（或BA=E）,则B=A^{-1}AB=E（或BA=E）,则B=A−1
如果A、BA、BA、B为同阶矩阵且均可逆，则A−1、AT、λA(λ≠0)与ABA^{-1}、A^T、\lambda A(\lambda \neq 0)与ABA−1、AT、λA(λ=0)与AB也可逆，且(A−1)−1=A(AT)−1=(A−1)T(λA)−1=1λA−1(AB)−1=B−1A−1(A^{-1})^{-1}=A\\ (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\\ (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}\\ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(A−1)−1=A(AT)−1=(A−1)T(λA)−1=λ1A−1(AB)−1=B−1A−1

2.4 矩阵的初等变换与线性方程组

2.4.1 矩阵的初等变换

定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
1. 对换两行（对换i，ji，ji，j两行，记作ri↔rjr_i \leftrightarrow r_jri↔rj）；
2. 以数k≠0k \neq 0k=0乘某一行中的所有元（第iii行乘kkk，记作ri×kr_i \times kri×k）；
3. 把某一行所有元的kkk倍加到另一行对应的元上去（第jjj行的kkk倍加到第iii行上，记作ri+krjr_i+kr_jri+krj）.

把定义中的"行"换成"列"，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把"r"换成"c"）
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。

显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换：
1. ri↔rjr_i \leftrightarrow r_jri↔rj的逆变换是其本身
2. ri×kr_i \times kri×k的逆变换是ri×(1k)r_i \times (\frac{1}{k})ri×(k1)（或记作ri÷kr_i \div kri÷k）
3. ri+krjr_i+kr_jri+krj的逆变换为ri+(−k)rjr_i+(-k)r_jri+(−k)rj（或记作ri−krjr_i-kr_jri−krj）

2.4.2 矩阵之间的等价关系

如果矩阵AAA经有限次初等行变换变成矩阵BBB，就称矩阵AAA与BBB行等价，记作A∼rBA\stackrel{r}{\sim}BA∼rB；如果矩阵AAA经有限次初等列变换变成矩阵BBB，就称矩阵AAA与BBB列等价，记作A∼cBA\stackrel{c}{\sim}BA∼cB；如果矩阵AAA经有限次初等变换变成矩阵BBB，就称矩阵AAA与BBB等价，记作A∼BA\sim BA∼B。

矩阵之间的等价关系具有下列性质：
1. 反身性：A∼AA\sim AA∼A；
2. 对称性：若A∼BA\sim BA∼B，则B∼AB\sim AB∼A；
3. 传递性：若A∼BA\sim BA∼B，B∼CB\sim CB∼C，则A∼CA\sim CA∼C.

我们可以通过初等变换来将矩阵变换为"阶梯形"，便于计算：

这些矩阵相互之间的关系可以用下图表示：

2.5 初等变换与矩阵乘法的关系

2.5.1 初等矩阵

定义：由单位矩阵EEE经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。其中三种初等变换对应有三种初等矩阵
1. 把单位矩阵中第i，ji，ji，j两行对换（或第i，ji，ji，j两列对换）
2. 以数k≠0k\neq 0k=0乘单位矩阵的第iii行（或第iii列）
3. 以kkk乘单位矩阵的第jjj行加到第iii行上或以kkk乘单位矩阵的第iii列加到第jjj列上
定理：设AAA与BBB为m×nm\times nm×n矩阵，那么
1. A∼rBA\stackrel{r}{\sim}BA∼rB的充分必要条件是存在mmm阶可逆矩阵PPP，使PA=BPA=BPA=B；
2. A∼cBA\stackrel{c}{\sim}BA∼cB的充分必要条件是存在nnn阶可逆矩阵QQQ，使AQ=BAQ=BAQ=B；
3. A∼BA\sim BA∼B的充分必要条件是存在mmm阶可逆矩阵PPP及nnn阶可逆矩阵QQQ，使PAQ=BPAQ=BPAQ=B.
  以上定理可以用初等矩阵与矩阵AAA左乘与右乘证得，同时引出下面定义。

2.5.2 初等变换与矩阵乘法

性质：设AAA是一个m×nm\times nm×n矩阵，对AAA施行一次初等行变换，相当于在AAA的左边乘相应的mmm阶初等矩阵；对AAA施行一次初等列变换，相当于在AAA的右边乘相应的nnn阶初等矩阵。

2.6 矩阵的秩

2.6.1 秩

定义：设在矩阵AAA中有一个不等于0的rrr阶子式DDD，且所有r+1r+1r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么DDD称为矩阵AAA的最高阶非零子式，数rrr称为矩阵AAA的秩，记作R(A)R(A)R(A)。并规定零矩阵的秩等于0
矩阵AAA的秩就是AAA中非零子式的最高阶数
关于矩阵的秩有以下结论：
一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的，一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数，而两个等价的矩阵的秩相等。
矩阵的秩的性质：

2.6.2 结合秩判断线性方程组的解

3.向量组的线性相关性

3.1 向量组及其线性组合

向量定义：nnn个有次序的数a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_na1,a2,⋯,an所组成的数组称为 nnn维向量，这nnn个数称为该向量的nnn个分量，第iii个数aia_iai称为第iii个分量。
- 分量全为实数的向量称为实向量
- 分量为复数的向量称为复向量
- 向量分为行向量和列向量
向量组定义：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。
定理：向量bbb能由向量组A:a1,a2,⋯ ,amA:a_1,a_2, \cdots,a_mA:a1,a2,⋯,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,⋯ ,am)A=(a_1,a_2, \cdots,a_m)A=(a1,a2,⋯,am)的秩等于矩阵B=(b1,b2,⋯ ,bm)B=(b_1,b_2, \cdots,b_m)B=(b1,b2,⋯,bm)的秩。
定理：向量组B:b1,b2,⋯ ,blB:b_1,b_2, \cdots,b_lB:b1,b2,⋯,bl能由向量组A:a1,a2,⋯ ,amA:a_1,a_2, \cdots,a_mA:a1,a2,⋯,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,⋯ ,am)A=(a_1,a_2, \cdots,a_m)A=(a1,a2,⋯,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,⋯ ,am,b1,⋯ ,bl)(A,B)=(a_1, \cdots,a_m,b_1, \cdots,b_l)(A,B)=(a1,⋯,am,b1,⋯,bl)的秩，即R(A)=R(A,B)R(A)=R(A,B)R(A)=R(A,B)
推论：向量组A:a1,a2,⋯ ,amA:a_1,a_2, \cdots,a_mA:a1,a2,⋯,am与向量组B:b1,b2,⋯ ,blB:b_1,b_2, \cdots,b_lB:b1,b2,⋯,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)R(A)=R(B)=R(A,B)R(A)=R(B)=R(A,B)

3.2 向量组的线性相关性

定义：给定向量组A:a1,a2,⋯ ,amA:a_1,a_2, \cdots,a_mA:a1,a2,⋯,am，如果存在不全为零的数k1,k2,⋯ ,kmk_1,k_2, \cdots,k_mk1,k2,⋯,km使k1a1,k2a2,⋯ ,kmam=0，k_1a_1,k_2a_2, \cdots,k_ma_m=0，k1a1,k2a2,⋯,kmam=0，则称向量组AAA是线性相关的，否则称它线性无关
线性相关与线性无关有其几何意义：
线性相关与线性无关的判断非常重要：
定理：

3.3 向量组的秩

定义：设有向量组 AAA ，如果在 A 中能选出 rrr个向量a1,a2,⋯ ,ara_1,a_2, \cdots,a_ra1,a2,⋯,ar满足：
- 向量组A0：a1,a2,⋯ ,arA_0 ：a_1, a_2, \cdots, a_rA0：a1,a2,⋯,ar线性无关；
- 向量组 AAA中任意r+1r + 1r+1个向量（如果AAA中有r+1r + 1r+1个向量的话）都线性相关；
  那么称向量组A0A_0A0是向量组AAA的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组．
  最大无关组所含向量个数rrr称为向量组AAA的秩，记作RAR_ARA ．

3.4 线性方程组的解的结构

基础解系
解的关系

3.5 向量空间

3.5.1 向量空间定义

设VVV为nnn维向量的集合，如果集合VVV非空，且集合VVV非空，且集合VVV对于向量的加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合VVV为向量空间。
所谓封闭，是指在集合VVV中可以进行向量的加法以及数乘两种运算。具体地说，就是：若a∈V,b∈Va \in V, b \in Va∈V,b∈V，则a+b∈Va+b \in Va+b∈V；若a∈V,λ∈Ra \in V, \lambda \in Ra∈V,λ∈R，则λa∈V\lambda a \in Vλa∈V。

3.5.2 向量空间的基的概念

相对应的坐标概念：

4.相似矩阵及二次型

4.1 向量的内积、长度及正交性

4.1.1 向量的内积

内积具有下列性质：
1. $x,y\]=\[y,x\]\[x,y\]=\[y,x\]\[x,y\]=\[y,x$
2. $λx,y\]=λ\[x,y\]\[\\lambda x,y\]=\\lambda\[x,y\]\[λx,y\]=λ\[x,y$
3. $x+y,z\]=\[x,z\]+\[y,z\]\[x+y,z\]=\[x,z\]+\[y,z\]\[x+y,z\]=\[x,z\]+\[y,z$
4. 当x=0x=0x=0时，[x,x]=0[x,x]=0[x,x]=0；当x≠0x \neq 0x=0时，[x,x]>0[x,x]>0[x,x]>0

4.1.2 向量的长度

向量长度具有下列性质：
1. 非负性：当x≠0x \neq 0x=0时，∣∣x∣∣>0||x||>0∣∣x∣∣>0；当x=0x=0x=0时，∣∣x∣∣=0||x||=0∣∣x∣∣=0
2. 齐次性：∣∣λx∣∣=∣λ∣∣∣x∣∣||\lambda x||=|\lambda| ||x||∣∣λx∣∣=∣λ∣∣∣x∣∣