P3205 [HNOI2010] 合唱队-普及+/提高

P3205 $HNOI2010$ 合唱队

题目描述

为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为 AAA 合唱队负责人的小 A 需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共 nnn 个人，第 iii 个人的身高为 hih_ihi 米（1000≤hi≤20001000 \le h_i \le 20001000≤hi≤2000），并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是 AAA 个人站成一排，为了简化问题，小 A 想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终排出的队形中：

第一个人直接插入空的当前队形中。
对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高（hhh 较大），那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮（hhh 较小），那么将他插入当前队形的最左边。

当 nnn 个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。

例如，有 666 个人站成一个初始队形，身高依次为 1850,1900,1700,1650,1800,17501850, 1900, 1700, 1650, 1800, 17501850,1900,1700,1650,1800,1750，

那么小 A 会按以下步骤获得最终排出的队形：

185018501850。
1850,19001850, 19001850,1900，因为 1900>18501900 > 18501900>1850。
1700,1850,19001700, 1850, 19001700,1850,1900，因为 1700<19001700 < 19001700<1900。
1650,1700,1850,19001650, 1700, 1850, 19001650,1700,1850,1900，因为 1650<17001650 < 17001650<1700。
1650,1700,1850,1900,18001650, 1700, 1850, 1900, 18001650,1700,1850,1900,1800，因为 1800>16501800 > 16501800>1650。
1750,1650,1700,1850,1900,18001750, 1650, 1700, 1850, 1900, 18001750,1650,1700,1850,1900,1800，因为 1750<18001750 < 18001750<1800。

因此，最终排出的队形是 1750,1650,1700,1850,1900,18001750, 1650, 1700, 1850, 1900, 18001750,1650,1700,1850,1900,1800。

小 A 心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形。

请求出答案对 196508271965082719650827 取模的值。

输入格式

第一行一个整数 nnn。

第二行 nnn 个整数，表示小 A 心中的理想队形。

输出格式

输出一行一个整数，表示答案 mod 19650827\bmod 19650827mod19650827 的值。

输入输出样例 #1

输入 #1

复制代码

4
1701 1702 1703 1704

输出 #1

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说明/提示

对于 30%30\%30% 的数据，n≤100n \le 100n≤100。

对于 100%100\%100% 的数据，n≤1000n \le 1000n≤1000，1000≤hi≤20001000 \le h_i \le 20001000≤hi≤2000。

solution

动态规划

1 定义公式
*

复制代码

   f[i][j]: 如果最后一个元素是 i, 排成 [i, j] 的方式有多少种

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   g[i][j]: 如果最后一个元素是 j, 排成 [i, j] 的方式有多少种

2 递推关系
f $i$ $j$ =f $i+1$ $j$ h $i$ >h $i+1$ +g $i+1$ $j$ h $i$ >h $j$ f $i$ $j$ = f $i + 1$ $j$ {h $i$ >h $i+1$ } + g $i + 1$ $j$ {h $i$ >h $j$ }f $i$ $j$ =f $i+1$ $j$ h $i$ >h $i+1$ +g $i+1$ $j$ h $i$ >h $j$
g $i$ $j$ =f $i$ $j-1$ h $j$ >h $i$ +g $i$ $j-1$ h $j$ >h $j-1$ g $i$ $j$ = f $i$ $j - 1$ {h $j$ >h $i$ } + g $i$ $j - 1$ {h $j$ >h $j-1$ }g $i$ $j$ =f $i$ $j-1$ h $j$ >h $i$ +g $i$ $j-1$ h $j$ >h $j-1$

代码

cpp 复制代码

#include "cstdio"
#include "iostream"
#include "vector"
#include "cstring"
#include "queue"
#include "algorithm"
#include "unordered_map"
#include "unordered_set"
#include "list"

/*
 * P3205 [HNOI2010] 合唱队
 *
 * 题目大意：n (n<=1000) 个不同数组成的序列,按照以下方式生成新序列
 * 第一个数放入新序列，以后每个数如果大于前一个数放队尾，否则放队首。给定一个新序列，问原始队列有多少种
 *
 * 思路：动态规划
 * 1 定义公式
 *      f[i][j]: 如果最后一个元素是 i, 排成 [i, j] 的方式有多少种
 *      g[i][j]: 如果最后一个元素是 j, 排成 [i, j] 的方式有多少种
 * 2 递推关系
 *      f[i][j] = f[i + 1][j] + g[i + 1][j]; 这里必须保证 h[i] 比上一个结束的 h 小，否则就不加
 *      g[i][j] = f[i][j - 1] + g[i][j - 1]; 这里必须保证 h[j] 比上一个结束的 h 大，否则就不加
 * 3 结果
 *      ans = f[1][n] + g[1][n]
 */

using namespace std;
const int N = 2e5 + 5, MOD = 19650827;

int f[1005][1005], g[1005][1005], h[1005], n;

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> h[i], f[i][i] = 1;

    for (int l = 2; l <= n; l++) {
        for (int i = 1, j; (j = i + l - 1) <= n; i++) {
            if (h[i] < h[i + 1]) f[i][j] += f[i + 1][j], f[i][j] %= MOD;
            if (h[i] < h[j]) f[i][j] += g[i + 1][j], f[i][j] %= MOD;

            if (h[j] > h[i]) g[i][j] += f[i][j - 1], g[i][j] %= MOD;
            if (h[j] > h[j - 1]) g[i][j] += g[i][j - 1], g[i][j] %= MOD;
        }
    }

    cout << (f[1][n] + g[1][n]) % MOD << endl;
    return 0;
}

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