基于deepseek学习三角函数相关

三角函数的各种公式

1. 基本定义

直角坐标系定义

在直角坐标系中,对于一个角 θ(顶点在原点,始边在x轴正半轴),其终边上任意一点 P(x, y) 到原点的距离为 r = √(x² + y²) > 0,则:

  • 正弦 (sin): sin θ = y / r

  • 余弦 (cos): cos θ = x / r

  • 正切 (tan): tan θ = y / x

  • 余切 (cot): cot θ = x / y

  • 正割 (sec): sec θ = r / x

  • 余割 (csc): csc θ = r / y

单位圆定义

当 r = 1 时(即点在单位圆上),定义简化为:

  • 正弦 (sin): P点的纵坐标 y

  • 余弦 (cos): P点的横坐标 x

  • 正切 (tan): 单位圆上过点 (1,0) 的切线(正切轴)上对应点的纵坐标

三角函数线

在单位圆中,可以用有向线段来表示三角函数值:

  • 正弦线 : 从点P向x轴作垂线,垂足为M,有向线段 MP 表示 sin θ。

  • 余弦线 : 有向线段 OM 表示 cos θ。

  • 正切线 : 过点A(1,0)作单位圆的切线,与OP的延长线相交于T,有向线段 AT 表示 tan θ。

2. 基本关系式(恒等式)

倒数关系
  • sin θ · csc θ = 1

  • cos θ · sec θ = 1

  • tan θ · cot θ = 1

商数关系
  • tan θ = sin θ / cos θ

  • cot θ = cos θ / sin θ

平方关系(勾股关系)
  • sin² θ + cos² θ = 1

  • 1 + tan² θ = sec² θ

  • 1 + cot² θ = csc² θ

3. 诱导公式(口诀:"奇变偶不变,符号看象限")

用于将任意角的三角函数转化为锐角三角函数进行计算。

  • sin(π/2 ± θ) = cos θ

  • cos(π/2 ± θ) = ∓ sin θ

  • sin(π ± θ) = ∓ sin θ

  • cos(π ± θ) = - cos θ

  • sin(2kπ ± θ) = ± sin θ

  • cos(2kπ ± θ) = cos θ

  • sin(-θ) = - sin θ

  • cos(-θ) = cos θ

  • tan(-θ) = - tan θ

4. 两角和与差公式

  • 正弦:

    • sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

    • sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

  • 余弦:

    • cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

    • cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

  • 正切:

    • tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)

    • tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β)

5. 二倍角公式

  • 正弦: sin 2θ = 2 sin θ cos θ

  • 余弦:

    • cos 2θ = cos² θ - sin² θ

    • cos 2θ = 2 cos² θ - 1

    • cos 2θ = 1 - 2 sin² θ

  • 正切: tan 2θ = 2 tan θ / (1 - tan² θ)

6. 半角公式

  • 正弦: sin(θ/2) = ±√((1 - cos θ)/2)

  • 余弦: cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2)

  • 正切:

    • tan(θ/2) = ±√((1 - cos θ)/(1 + cos θ))

    • tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ) = (1 - cos θ) / sin θ

      *(符号由 θ/2 所在象限决定)

7. 和差化积公式

  • sin α + sin β = 2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]

  • sin α - sin β = 2 cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]

  • cos α + cos β = 2 cos[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]

  • cos α - cos β = -2 sin[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]

8. 积化和差公式

  • sin α cos β = [sin(α+β) + sin(α-β)] / 2

  • cos α sin β = [sin(α+β) - sin(α-β)] / 2

  • cos α cos β = [cos(α+β) + cos(α-β)] / 2

  • sin α sin β = -[cos(α+β) - cos(α-β)] / 2

9. 万能公式(用 t = tan(θ/2) 表示)

设 t = tan(θ/2),则:

  • sin θ = 2t / (1 + t²)

  • cos θ = (1 - t²) / (1 + t²)

  • tan θ = 2t / (1 - t²)

    这个公式在积分计算中非常有用,可以将三角有理式转化为代数有理式。

10. 其他重要形式

辅助角公式(合一公式)

将 a sin x + b cos x 化为单个正弦或余弦函数。

  • a sin x + b cos x = R sin(x + φ)

  • a sin x + b cos x = R cos(x - θ)

    其中,R = √(a² + b²) 是振幅,φ 和 θ 是辅助角,满足:

  • sin φ = b / R, cos φ = a / R

  • tan φ = b / a

正弦定理和余弦定理(解三角形)
  • 正弦定理:

    • a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

      *(其中 a, b, c 为三角形三边,A, B, C 为对角,R 为三角形外接圆半径)

  • 余弦定理:

    • a² = b² + c² - 2bc cos A

    • b² = a² + c² - 2ac cos B

    • c² = a² + b² - 2ab cos C

欧拉公式(复数域)
  • e^(iθ) = cos θ + i sin θ

    由此可以推导出:

  • cos θ = (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2

  • sin θ = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (2i)

cos² θ-sin² θ=cos 2θ是如何推理的

这个公式可以从余弦的两角和公式直接推导出来。

第一步:写出余弦的两角和公式

余弦的两角和公式为:
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

第二步:令 α = θ, β = θ

将 α 和 β 都设为 θ:
cos(θ + θ) = cos θ · cos θ - sin θ · sin θ

第三步:简化表达式

cos(2θ) = cos²θ - sin²θ

至此,我们已经完成了推导!

2 sin θ cos θ=sin 2θ是如何推导的

这个公式可以从正弦的两角和公式直接推导出来。

第一步:写出正弦的两角和公式

正弦的两角和公式为:
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

第二步:令 α = θ, β = θ

将 α 和 β 都设为 θ:
sin(θ + θ) = sin θ · cos θ + cos θ · sin θ

第三步:简化表达式

sin(2θ) = sin θ cos θ + sin θ cos θ = 2 sin θ cos θ

至此,我们已经完成了推导!

cos² θ-sin² θ=cos 2θ 写出其推导过程

步骤1: 回忆余弦的和角公式:

复制代码
cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ

步骤2: 令 α = θ,β = θ,代入公式:

复制代码
cos(θ + θ) = cosθ·cosθ - sinθ·sinθ

步骤3: 简化表达式:

复制代码
cos(2θ) = cos²θ - sin²θ

推导完成!

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