数论探秘：如何用模4思想破解平方数谜题

（1）写出三个不同的正整数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证．

（2）是否存在四个不同的正整数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．

关键推导 ：

对于任意 n ∈ N ∗ n \in \mathbb{N}^* n∈N∗， n 2 ≡ 0 , 1 ( m o d 4 ) n^2 \equiv 0,1 \pmod{4} n2≡0,1(mod4)．

设 a , b a,b a,b是两个不同的正整数：

若 a ≡ 0 ( m o d 4 ) a \equiv 0 \pmod{4} a≡0(mod4)或 b ≡ 0 ( m o d 4 ) b \equiv 0 \pmod{4} b≡0(mod4) ，或 a ≡ b ≡ 2 ( m o d 4 ) a \equiv b \equiv 2 \pmod{4} a≡b≡2(mod4)，则 a b ≡ 0 ( m o d 4 ) ab \equiv 0 \pmod{4} ab≡0(mod4)，此时 a b + 10 ≡ 2 ( m o d 4 ) ab + 10 \equiv 2 \pmod{4} ab+10≡2(mod4)，故 a b + 10 ab + 10 ab+10不是完全平方数．
若 a ≡ b ≡ 1 ( m o d 4 ) a \equiv b \equiv 1 \pmod{4} a≡b≡1(mod4)或 a ≡ b ≡ 3 ( m o d 4 ) a \equiv b \equiv 3 \pmod{4} a≡b≡3(mod4) ，则 a b ≡ 1 ( m o d 4 ) ab \equiv 1 \pmod{4} ab≡1(mod4)，此时 a b + 10 ≡ 3 ( m o d 4 ) ab + 10 \equiv 3 \pmod{4} ab+10≡3(mod4)，故 a b + 10 ab + 10 ab+10不是完全平方数．

由此可知， a b + 10 ab + 10 ab+10是完全平方数的必要不充分条件 是 a , b m o d 4 a,b \bmod{4} a,bmod4不同余，且 a , b a,b a,b均不被4整除．

（1）构造三个满足条件的数

例如取 a = 2 a=2 a=2， b = 3 b=3 b=3， c = 13 c=13 c=13：

结论： ( 2 , 3 , 13 ) (2, 3, 13) (2,3,13)是满足题意的一组正整数．

（2）证明四个数不可能存在

情况1 ：若四个数中存在4的倍数，则其与其他数的积加10必为 2 ( m o d 4 ) 2 \pmod{4} 2(mod4)，矛盾．
情况2 ：若四个数均非4的倍数，则根据鸽巢原理，至少有两个数模4同余（余数只能是1,2,3），此时它们的积加10为 3 ( m o d 4 ) 3 \pmod{4} 3(mod4)，矛盾．

最终结论：不存在四个满足条件的正整数．