2025年--Lc188--931. 下降路径最小和(多维动态规划,矩阵）--Java版

1.题目

2.思路

因为这题的转移方向是"从上到下"（上一行的 j−1、j、j+1 到下一行 j），所以唯一需要的基线就是第一行：

dp $0$ $j$ = matrix $0$ $j$ 。

之后第 i 行的任意列 j 都只依赖上一行的值（dp $i-1$ $\*$ ），自然能算出来，包括第 0 列：

当 j == 0：dp $i$ $0$ 由 dp $i-1$ $0$ （正上）和（若存在）dp $i-1$ $1$ （右上）转移得到。

当 0 < j < n-1：取 dp $i-1$ $j-1$ , dp $i-1$ $j$ , dp $i-1$ $j+1$ 的最小。

当 j == n-1：由 dp $i-1$ $n-1$ （正上）和（若存在）dp $i-1$ $n-2$ （左上）转移。

也就是说，第一列不是独立的"起点边界"，它和其他列一样，都依赖"上一行"的结果，自然会被计算到；不需要像"从左到右/从上到下"的网格最短路（只能向右或向下）那样同时初始化第一行和第一列。

java 复制代码

dp[0][0] = matrix[0][0]           // 初始化第一行
dp[1][0] = min(dp[0][0], dp[0][1]) + matrix[1][0]
dp[2][0] = min(dp[1][0], dp[1][1]) + matrix[2][0]

约定是 dp $i$ $j$ ：i 是行（row），j 是列（column）。

dp $0$ 在 Java 里表示第一行这一整行的一维数组；所以写成 dp $0$ = $2, 1, 3$ 就是说第一行的每一列值依次是 2、1、3，也就是 (0,0)、(0,1)、(0,2)。

java 复制代码

dp[0][0]  dp[0][1]  dp[0][2]   ← 这是第0行
dp[1][0]  dp[1][1]  dp[1][2]
dp[2][0]  dp[2][1]  dp[2][2]
↑  第0列

3.代码实现

java 复制代码

class Solution {
    public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        //行数
        int m=matrix.length;
        //列数
        int n=matrix[0].length;
        int[][] dp=new int[m][n];
       
        // "从上到下"，所以从第一行中的任何元素开始。初始化第一行：到达第一行的最小路径和就是其自身
        // 即 (0,0),(0,1),(0,2)，代表矩阵数组中的第一组元素
       for(int j=0;j<n;j++)
       {
        dp[0][j]=matrix[0][j];
       }
       
        for(int i=1;i<m;i++)
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                //最左边的元素
                if(j==0)
                {
                    dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j],dp[i-1][j+1])+matrix[i][j];
                }
                //最右边的元素
                else if(j==n-1)
                {
                    dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1])+matrix[i][j];
                }
                //中间正常元素
                else
                {
                    dp[i][j]=Math.min(Math.min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j]),dp[i-1][j+1])+matrix[i][j];
                }
            }
        }
        int res=dp[m-1][0];//最后一行的第一个元素
        //找出最后一行的最小值
        for(int k=0;k<n;k++)
        {
            res=Math.min(res,dp[m-1][k]);
        }
        return res;

    }
}