引言
欢迎来到本系列的第四篇！在前面的文章中，我们已经见识了哈希表在"查找"问题上的威力。今天，我们将面对一个看似简单，却能引出两种截然不同且都极为重要的解题思路的经典题目------LeetCode 136. 只出现一次的数字。
这道题是面试中的高频题，因为它像一个十字路口，既可以通往我们熟悉的数据结构之路（哈希表），又可以引领我们进入一个全新的、充满数学之美的领域------位运算。
本文将带你一起：
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用我们熟悉的哈希表方法，轻松解决这个问题。
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深入探讨时间与空间复杂度的真正含义，澄清一些常见的误解。
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揭开"位运算"的神秘面纱，领略其 O(1) 空间复杂度的极致魅力。
一、题目呈现
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题目编号：136. 只出现一次的数字
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题目难度：简单
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题目描述：
给你一个 非空 整数数组 nums ，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。
你必须设计并实现线性时间复杂度的算法来解决此问题，且该算法只使用常量额外空间。
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核心要求：
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时间复杂度 ：线性，即 O(n)。
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空间复杂度 ：常量，即 O(1)。
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示例：
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输入: nums = [4,1,2,1,2]
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输出: 4
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二、我的思考：哈希表虽好，但空间超标
看到题目要求"找出唯一的元素"，我的第一反应依然是求助于我们的老朋友------哈希表。我们可以用哈希表来统计每个数字出现的次数，最后再找出那个出现次数为 1 的数字。
哈希表解法
这个思路非常直观，而且我们在之前的文章中已经熟练掌握了
cpp
#include <vector>
#include <unordered_map>
class Solution_HashMap {
public:
int singleNumber(std::vector<int>& nums) {
// 使用哈希表统计频率
std::unordered_map<int, int> counts;
for (int num : nums) {
counts[num]++;
}
// 遍历哈希表，找出频率为 1 的数字
for (auto const& [num, count] : counts) {
if (count == 1) {
return num;
}
}
return -1; // 理论上不会执行到
}
};复杂度分析：
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时间复杂度 ：我们遍历了一次 nums 来构建哈希表（O(n)），又遍历了一次哈希表来找结果（最坏情况下 O(n)）。所以总时间复杂度是 O(n) + O(n) = O(n) 。符合要求。
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空间复杂度 ：哈希表需要存储 n/2 + 1 个不同的数字。随着输入数组 n 的增大，哈希表的大小也会线性增大。因此，空间复杂度是 O(n) 。不符合 O(1) 的要求。
虽然哈希表解法在时间上达标了，但在空间上却"超标"了。这迫使我们必须寻找一种全新的、不依赖额外存储空间的解题路径。
三、豁然开朗：位运算的魔法------异或 (XOR)
要实现 O(1) 的空间复杂度，意味着我们不能使用随 n 增长的额外数据结构。我们只能使用有限的几个变量。这听起来似乎不可能，但位运算让它变成了现实。
核心知识点：异或运算 ^
你可能还记得离散数学中的异或，编程中的位运算正是它的延伸。它有三个神奇的性质，是解决此题的关键：
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任何数与 0 异或，结果是它本身： a ^ 0 = a
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任何数与它自己异或，结果是 0： a ^ a = 0
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异或运算满足交换律和结合律：a ^ b ^ a = (a ^ a) ^ b = 0 ^ b = b
魔法发生了！
第三条性质告诉我们：将一堆数字全部异或在一起，那些成对出现的数字会因为 a ^ a = 0 而相互抵消，最终只剩下那个落单的数字！
一个具体的例子：[4, 1, 2, 1, 2]
让我们把数组中所有数字全部异或起来：
result = 4 ^ 1 ^ 2 ^ 1 ^ 2
根据交换律，我们可以重新排列：
result = 4 ^ (1 ^ 1) ^ (2 ^ 2)
根据性质2，1 ^ 1 = 0，2 ^ 2 = 0：
result = 4 ^ 0 ^ 0
根据性质1，4 ^ 0 = 4，4 ^ 0 = 4：
result = 4
我们不费吹灰之力就找到了答案！
四、C++ 最优代码与详解
有了位运算这个强大的武器，代码实现变得异常简洁。
cpp
#include <vector>
#include <numeric> // 在某些写法中可能用到，但这里不需要
class Solution {
public:
int singleNumber(std::vector<int>& nums) {
// 1.
int accumulator = 0;
// 2.
for (int num : nums) {
// 3.
accumulator ^= num;
}
// 4.
return accumulator;
}
};代码逐点解释
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int accumulator = 0;
我们初始化一个"累加器"变量，值为 0。选择 0 是因为它是异或运算的单位元，不会影响第一次异或的结果（0 ^ 第一个元素 = 第一个元素）。
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for (int num : nums)
我们使用范围 for 循环遍历 nums 数组中的每一个数字。
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accumulator ^= num;
这是算法的核心。在每一次循环中，我们将累加器的当前值与数组中的当前元素 num 进行异或运算，并将结果存回累加器。a ^= b 是 a = a ^ b 的简写形式。
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return accumulator;
当循环结束时，所有成对出现的数字都已相互抵消（变成了 0），累加器中剩下的就是那个唯一的、只出现了一次的数字。我们将其返回。
五、深度思考与答疑
问：如何理解"线性时间"和"常量空间"？
答：这是你笔记中提出的一个非常深刻的问题！
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线性时间复杂度 O(n)：
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"线性"可以类比一次函数 y = kx。算法的执行时间（或步骤数）与输入数据的规模 n 成一个正比关系。
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我们的代码只有一个 for 循环，它会遍历 n 个元素。如果数组长度翻倍，循环次数也大致翻倍。这就是典型的 O(n)。
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你对 n-a 的思考非常有趣 ：在大 O 表示法中，我们只关心增长的趋势 。O(n)，O(n-1)，O(2n+5) 都被简化为 O(n)，因为当 n 趋向于无穷大时，常数项和系数的影响都可以忽略不计。
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常量额外空间 O(1)：
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"常量"意味着算法使用的额外 内存空间不随输入规模 n 的变化而变化。
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在位运算解法中，我们只使用了一个额外的 int 变量 accumulator。无论输入数组 nums 有 10 个元素还是 1000 万个元素，我们都只需要这一个额外的变量。它的内存占用是恒定的。
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而哈希表解法中，如果数组有 1000 万个元素，哈希表也需要存储约 500 万个元素，内存占用随 n 线性增长，所以是 O(n) 空间。
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六、总结与收获
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复杂度分析 ：位运算解法完美地满足了题目的苛刻要求。时间复杂度为 O(n) ，额外空间复杂度为 O(1)。
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核心思想：
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哈希表是解决频率统计问题的通用武器，但以空间换时间。
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位运算（异或） 在处理"成对出现"的问题时，提供了一种极致空间优化的"捷径"。
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关键技巧：熟练掌握异或运算的三个核心性质，是解锁许多位运算难题的关键。