（5）Armstrong公理系统、无损连接和有损连接
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- 函数依赖及其推导规则
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- [三条基本公理（Armstrong 公理）](#三条基本公理（Armstrong 公理）)
- 由公理推导的推论（常用规则）
- 无损连接和有损连接
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函数依赖及其推导规则
函数依赖的推导规则属于Armstrong 公理系统，是关系数据库中推导函数依赖、分析数据依赖关系的理论基础。以下是核心规则的详细说明：
三条基本公理（Armstrong 公理）
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自反律（Reflexivity Rule）
定义 ：若属性集 Y ⊆X ⊆U （U 是关系的所有属性集），则 X →Y 必然成立。
公式 ：Y ⊆X ⟹X →Y
示例 ：若 X ={A ,B ,C }，Y ={A ,B }（Y ⊆X ），则 {A ,B ,C }→{A ,B} 成立。
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增广律（Augmentation Rule）
定义 ：若 X →Y 成立，对任意属性集 Z ⊆U ，则 XZ →YZ 成立（"增广" 指在依赖两边同时添加属性集 Z）。
公式 ：X →Y ⟹XZ →YZ
示例 ：若 {A }→{B } 成立，则 {A ,C }→{B ,C} 也成立。
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传递律（Transitivity Rule）
定义 ：若 X →Y 且 Y →Z 成立，则 X →Z 成立（依赖关系可通过中间属性 Y 传递）。
公式 ：X →Y ∧Y →Z ⟹X →Z
示例 ：若 {A }→{B } 且 {B }→{C }，则 {A }→{C} 成立。
由公理推导的推论（常用规则）
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合并规则（Union Rule）
定义 ：若 X →Y 且 X →Z 成立，则 X →YZ 成立（将两个依赖的右部 "合并" 为属性组）。
公式 ：X →Y ∧X →Z ⟹X →YZ
示例 ：若 {A }→{B } 且 {A }→{C }，则 {A }→{B ,C} 成立。
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分解规则（Decomposition Rule）
定义 ：若 X →YZ 成立，则 X →Y 且 X →Z 成立（将依赖的右部 "分解" 为单个属性）。
公式 ：X →YZ ⟹X →Y ∧X →Z
示例 ：若 {A }→{B ,C } 成立，则 {A }→{B } 且 {A }→{C} 成立。
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伪传递规则（Pseudotransitivity Rule）
定义 ：若 X →Y 且 WY →Z 成立，则 WX →Z 成立（传递律的扩展，左部添加属性集 W）。
公式 ：X →Y ∧WY →Z ⟹WX →Z
示例 ：若 {A }→{B } 且 {C ,B }→{D }，则 {C ,A }→{D} 成立。
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复合规则（Composition Rule）
定义 ：若 X →Y 且 W →Z 成立，则 XW →YZ 成立（两个依赖的左部和右部分别 "复合"）。
公式 ：X →Y ∧W →Z ⟹XW →YZ
示例 ：若 {A }→{B } 且 {C }→{D }，则 {A ,C }→{B ,D} 成立。
无损连接和有损连接
定义
在关系数据库的模式分解中，无损连接 和有损连接是判断分解是否 "保留原数据完整性" 的核心概念，直接影响数据的可恢复性。
| 类型 | 定义 | 本质 |
|---|---|---|
| 无损连接（Lossless Join） | 关系模式分解后，通过自然连接 可完全还原原关系模式，无信息丢失。 | 分解是 "可逆" 的，连接结果与原关系完全一致。 |
| 有损连接（Lossy Join） | 关系模式分解后，自然连接的结果包含原关系中没有的元组，或丢失原元组，导致信息失真。 | 分解是 "不可逆" 的，连接后数据出现冗余或缺失。 |
示例：直观理解无损与有损
- 无损连接示例
设关系模式 R (A ,B ,C )，函数依赖 F ={A →B}，原关系数据如下：
| A | B | C |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
将 R 分解为 R 1(A ,B ) 和 R 2(A ,C)：
- R1：
| A | B |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 4 | 5 |
- R2：
| A | C |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 4 | 6 |
自然连接 R1⋈R2（按公共属性 A 连接）：
| A | B | C |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
结果与原 R 完全一致，因此是无损连接。
- 有损连接示例
设关系模式 R (A ,B ,C)，无函数依赖，原关系数据如下：
| A | B | C |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 2 | 5 |
将 R 分解为 R 1(A ,B ) 和 R 2(B ,C)：
- R1：
| A | B |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 4 | 2 |
- R2：
| B | C |
|---|---|
| 2 | 3 |
| 2 | 5 |
自然连接 R1⋈R2（按公共属性 B 连接）：
| A | B | C |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 2 | 5 |
| 4 | 2 | 3 |
| 4 | 2 | 5 |
其中 (1,2,5) 和 (4,2,3) 是原 R 中没有的元组，导致数据冗余，因此是有损连接。
无损连接的判定方法
- 分解为两个子模式的判定（最常用场景）
若关系模式 R 分解为 R 1 和 R 2，则无损连接的充要条件是：
(R 1∩R 2)→(R 1−R 2)或(R 1∩R 2)→(R 2−R1)
即公共属性集能决定其中一个子模式的非公共属性。
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示例（无损连接）：
R 1(A ,B )∩R 2(A ,C )={A }，且 A →B （来自 F ），因此 A →(R 1−R 2)={B}，满足条件，无损。
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示例（有损连接）：
R 1(A ,B )∩R 2(B ,C )={B }，但无函数依赖 B →A 或 B →C，因此不满足条件，有损。
- 分解为多个子模式的判定（通用算法）
使用 "无损连接判定表法"，步骤如下：
- 构造初始表：行对应原关系的属性，列对应分解的子模式，若属性属于子模式则填 ai ，否则填 bij。
- 按函数依赖 F 迭代修改表：若某行在依赖左部的属性全为 a ，则将右部属性也改为 a。
- 若最终表中存在一行全为 a，则分解是无损的。
关键结论
- 无损连接是模式分解的基本要求，否则会导致数据失真；
- 无损连接与 "保持函数依赖" 是两个独立概念：
- 无损连接保证 "数据可恢复"；
- 保持函数依赖保证 "依赖可推导"；
- 优秀的分解需同时满足两者（如 3NF、BCNF 的分解通常是无损的）。