【数据结构】数据结构核心考点：AVL树删除操作详解（附平衡旋转实例）

AVL树的删除

• 导读
• 一、AVL树的删除步骤
• 二、AVL树的删除用例
• • [2.1 用例1：删除结点不影响平衡](#2.1 用例1：删除结点不影响平衡)
  • [2.2 用例2：最小不平衡子树中，孙子位于 LL](#2.2 用例2：最小不平衡子树中，孙子位于 LL)
  • [2.3 用例3：最小不平衡子树中，孙子位于 LR](#2.3 用例3：最小不平衡子树中，孙子位于 LR)
  • [2.4 用例4：最小不平衡子树中，孙子位于 RR](#2.4 用例4：最小不平衡子树中，孙子位于 RR)
  • [2.5 用例5：最小不平衡子树中，孙子位于 RL](#2.5 用例5：最小不平衡子树中，孙子位于 RL)
  • [2.6 用例6：最小不平衡子树向上传导](#2.6 用例6：最小不平衡子树向上传导)
• 结语

导读

大家好，很高兴又和大家见面啦！！！

在上一篇内容中我们介绍了AVL树插入操作中的平衡旋转技巧（LL、LR、RR、RL旋转）后，我们了解到旋转是维护AVL树平衡的核心机制。

然而，删除操作可能引发更复杂的不平衡问题，且这种不平衡可能沿父节点路径向上传导，需多次调整。

那么，如何系统处理AVL树的删除，确保树始终保持平衡？现在，让我们直接进入正文，逐步解析删除操作的具体实现。

一、AVL树的删除步骤

AVL树 的删除操作与 BST 的删除操作相似但又有所不同：

• 相同点：对删除结点的处理相同
• 不同点：会对失去平衡的 BST 进行平衡旋转恢复其平衡状态

下面我们就来熟悉一下 AVL树 的删除操作的具体步骤。AVL树 的删除操作可以总结为5步：

• 使用 BST 的方法对 AVL树 进行结点的删除操作
• 完成删除后，开始向上查找，找到第一个最小不平衡子树
  • 若删除操作对 AVL树 的平衡性没有影响，则完成删除操作
  • 若删除操作对 AVL树 的平衡性有影响，则进入第三步
• 找到 最小不平衡子树 的最高的 孩子 和 孙子
• 按照 孙子 的位置，对 最小不平衡子树 进行平衡旋转：
  • 孙子 为 最小不平衡子树 的 左孩子 L L L 的 左子树 L L L ，即满足 L L LL LL 平衡旋转 ，则需要对 最小不平衡子树 进行一次 右单旋转 （L L LL LL 平衡旋转），使其恢复平衡
  • 孙子 为 最小不平衡子树 的 左孩子 L L L 的 右子树 R R R ，即满足 L R LR LR 平衡旋转 ，则需要对 最小不平衡子树 的 左孩子 先进行一次 左单旋转 再对该 最小不平衡子树 进行一次 右单旋转 （L R LR LR 平衡旋转），使其恢复平衡
  • 孙子 为 最小不平衡子树 的 右孩子 R R R 的 右子树 R R R ，即满足 R R RR RR 平衡旋转 ，则需要对 最小不平衡子树 进行一次 左单旋转 （R R RR RR 平衡旋转），使其恢复平衡
  • 孙子 为 最小不平衡子树 的 右孩子 R R R 的 左子树 L L L ，即满足 R L RL RL 平衡旋转 ，则需要对 最小不平衡子树 的 右孩子 先进行一次 右单旋转 再对该 最小不平衡子树 进行一次 左单旋转 （R L RL RL 平衡旋转），使其恢复平衡
• 完成平衡旋转后，继续向上查找 最小不平衡子树 ：
  • 若 AVL树 的不平衡性没有向上传导，则完成删除
  • 若 AVL树 的不平衡性向上传导，则回到第三步，直到整棵树恢复平衡

注：

若各位朋友对 BST 的删除操作不太熟悉，可以回顾：【数据结构】考研数据结构核心考点：二叉排序树(BST)全方位详解与代码实现

若各位朋友对 AVL树 的平衡旋转不太熟悉，可以回顾：【数据结构】考研数据结构核心考点：AVL树插入操作深度解析------从理论到实践的旋转平衡实现

二、AVL树的删除用例

为了更好的理解整个删除的过程，下面我们以具体的例子来进行删除演示：

2.1 用例1：删除结点不影响平衡

在下面这棵 AVL树 中，我们需要对结点 7 7 7 进行删除：
2
平衡因子: 0 1
平衡因子: 0 3
平衡因子: 0 6
平衡因子: 0 5
平衡因子: 0 7
平衡因子: 0 4
平衡因子: 0

根据 BST 的删除规则，我们可以直接对其进行删除：
2
平衡因子: 0 1
平衡因子: 0 3
平衡因子: 0 6
平衡因子: 1 5
平衡因子: 0 NULL 4
平衡因子: 0

可以看到，该结点的删除不影响整个树的平衡，因此完成删除；

2.2 用例2：最小不平衡子树中，孙子位于 LL

在下面这棵 AVL树 中，我们需要删除结点 78 78 78：
44
平衡因子: 1 32
平衡因子: 1 78
平衡因子: 1 18
平衡因子: 0 40
平衡因子: 0 6
平衡因子: 0 24
平衡因子: 0 65
平衡因子: 0 NULL

根据 BST 的删除规则，由于该删除结点只有一个孩子，因此完成删除后直接用其孩子替代该结点：
44
平衡因子: 2 32
平衡因子: 1 65
平衡因子: 0 18
平衡因子: 0 40
平衡因子: 0 6
平衡因子: 0 24
平衡因子: 0

当删除完该结点后，通过向上查找，我们找到了 最小不平衡子树 ，其根结点的值存储的值为 44 44 44 ，因此我们需要找到该结点最高的孩子 与孙子：
44
平衡因子: 2
h = 4 32
平衡因子: 1
h = 3 65
平衡因子: 0
h = 1 18
平衡因子: 0
h = 2 40
平衡因子: 0
h = 1 6
平衡因子: 0
h = 1 24
平衡因子: 0
h = 1

根结点最高的孩子为其 左孩子 （L ），其最高的孙子为其 左孩子 的 左子树 （L ），因此我们需要对其进行一次 右单旋转：
32
平衡因子: 0
h = 3 18
平衡因子: 0
h = 2 44
平衡因子: 0
h = 2 6
平衡因子: 0
h = 1 24
平衡因子: 0
h = 1 40
平衡因子: 0
h = 1 65
平衡因子: 0
h = 1

可以看到，在完成旋转后，这棵 BST 已经恢复了平衡，因此完成删除；

2.3 用例3：最小不平衡子树中，孙子位于 LR

在下面这棵 AVL树 中，我们需要删除结点 78 78 78：
44
平衡因子: 1 32
平衡因子: -1 78
平衡因子: 1 18
平衡因子: 0 40
平衡因子: 0 35
平衡因子: 0 42
平衡因子: 0 65
平衡因子: 0 NULL

和前一个例子一样，被删除的结点只有一个孩子，因此删除该结点后，直接用其孩子来顶替该结点的位置：
44
平衡因子: 2 32
平衡因子: -1 65
平衡因子: 0 18
平衡因子: 0 40
平衡因子: 0 35
平衡因子: 0 42
平衡因子: 0

删除该结点后，我们通过向上查找，找到第一棵 最小不平衡子树 ，其根结点为 44 44 44 。接下来我们需要找到该结点的最高的 孩子 和最高的 孙子 ：
44
平衡因子: 2
h = 4 32
平衡因子: -1
h = 3 65
平衡因子: 0
h = 1 18
平衡因子: 0
h = 1 40
平衡因子: 0
h = 2 35
平衡因子: 0
h = 1 42
平衡因子: 0
h = 1

其最高的孩子为 左孩子 （L ），其最高的孙子为其 左孩子 的 右子树 （R ），因此我们需要对其 左孩子 先进行一次 左单旋转 ，再对其进行一次 右单旋转：
先对左孩子: 32
进行一次左单旋转
-> 44
平衡因子: 2
h = 4 40
平衡因子: 1
h = 3 65
平衡因子: 0
h = 1 32
平衡因子: 0
h = 2 18
平衡因子: 0
h = 1 35
平衡因子: 0
h = 1 42
平衡因子: 0
h = 1 NULL NULL 再对整棵树: 44
进行一次右单旋转
-> 40
平衡因子: 0
h = 3 32
平衡因子: 0
h = 2 44
平衡因子: 0
h = 2 42
平衡因子: 0
h = 1 65
平衡因子: 0
h = 1 18
平衡因子: 0
h = 1 35
平衡因子: 0
h = 1

完成旋转后，这棵 BST 已经恢复了平衡，因此完成删除；

2.4 用例4：最小不平衡子树中，孙子位于 RR

在下面这棵 AVL树 中，我们需要删除结点 32 32 32：
44
平衡因子: -1 32
平衡因子: -1 78
平衡因子: -1 NULL 40
平衡因子: 0 65
平衡因子: 0 85
平衡因子: 0 80
平衡因子: 0 93
平衡因子:0

在这棵 AVL树 中，被删除的结点只有一个孩子，因此删除该结点后，直接用其孩子来顶替该结点的位置：
44
平衡因子: -2 40
平衡因子: 0 78
平衡因子: -1 65
平衡因子: 0 85
平衡因子: 0 80
平衡因子: 0 93
平衡因子:0

删除完结点后，通过向上查找，我们找到了最小不平衡子树： 44 44 44，因此我们需要找到该棵树的最高的 孩子 和最高的 孙子：
44
平衡因子: -2
h = 4 40
平衡因子: 0
h = 1 78
平衡因子: -1
h = 3 65
平衡因子: 0
h = 1 85
平衡因子: 0
h = 2 80
平衡因子: 0
h = 1 93
平衡因子:0
h = 1

其最高的孩子为 右孩子 （R ），其最高的孙子为 右孩子 的 右子树 （R ），因此我们需要对该树进行一次 左单旋转 ：
78
平衡因子: 0
h = 3 44
平衡因子: 0
h = 2 40
平衡因子: 0
h = 1 65
平衡因子: 0
h = 1 85
平衡因子: 0
h = 2 80
平衡因子: 0
h = 1 93
平衡因子:0
h = 1

完成旋转后，这棵 BST 已经恢复了平衡，因此完成删除；

2.5 用例5：最小不平衡子树中，孙子位于 RL

在下面这棵 AVL树 中，我们需要删除结点 32 32 32：
44
平衡因子: -1 32
平衡因子: -1 78
平衡因子: 1 NULL 40
平衡因子: 0 65
平衡因子: 0 85
平衡因子: 0 50
平衡因子: 0 72
平衡因子:0

由于该结点只有一个孩子，根据 BST 删除规则，在删除完该结点后，我们需要直接用其孩子来替代该结点的位置：
44
平衡因子: -2 40
平衡因子: 0 78
平衡因子: 1 65
平衡因子: 0 85
平衡因子: 0 50
平衡因子: 0 72
平衡因子:0

删除完该结点后，通过向上查找，我们找到了 最小不平衡子树 ： 44 44 44，接下来我们需要找到其最高的 孩子 和最高的 孙子：
44
平衡因子: -2
h = 4 40
平衡因子: 0
h = 1 78
平衡因子: 1
h = 3 65
平衡因子: 0
h = 2 85
平衡因子: 0
h = 1 50
平衡因子: 0
h = 1 72
平衡因子:0
h = 1

其最高的孩子为 右孩子 （R ），其最高的孙子为 右孩子 的 左子树 （L ），因此我们需要先对其 右孩子 进行一次 右单旋转 ，再对其做一次 左单旋转：
先对右子树: 78
做一次右单旋转
-> 44
平衡因子: -2
h = 4 40
平衡因子: 0
h = 1 65
平衡因子: -2
h = 3 50
平衡因子: 0
h = 1 78
平衡因子: 0
h = 2 72
平衡因子:0
h = 1 85
平衡因子: 0
h = 1 再对整棵树
做一次左单旋转
-> 65
平衡因子: 0
h = 3 44
平衡因子: 0
h = 2 40
平衡因子: 0
h = 1 50
平衡因子: 0
h = 1 78
平衡因子: 0
h = 2 72
平衡因子:0
h = 1 85
平衡因子: 0
h = 1

完成旋转后，该棵 BST 又重新恢复平衡，因此完成删除；

2.6 用例6：最小不平衡子树向上传导

在下面这棵 AVL树 中，我们需要删除结点 44 44 44：
33
平衡因子: 1 10
平衡因子: -1 44
平衡因子: -1 5
平衡因子: 1 20
平衡因子: -1 37
平衡因子: 1 78
平衡因子: 1 4
平衡因子: 1 8
平衡因子: 0 15
平衡因子: 1 25
平衡因子: 1 35
平衡因子: 0 NULL 50
平衡因子: 1 88
平衡因子: 0 1
平衡因子: 0 NULL 12
平衡因子: 0 NULL 23
平衡因子: 1 28
平衡因子: 0 48
平衡因子: 0 NULL 21
平衡因子: 0 NULL

由于该结点有两个孩子，根据 BST 的删除规则，我们在完成结点删除后，可以通过它的直接前驱或者直接后继来替代该结点的位置：

• 直接前驱：其左子树的最后侧孩子------ 37 37 37
• 直接后继：其右子树的最左侧孩子------ 48 48 48

旋转不同的孩子结点进行替代，可能会导致不同的结果，这里我们通过肉眼观察不难看出：

• 当采用直接后继时，失去平衡的为整棵树，因为前面已经探讨过，这里就不再介绍；
• 当采用直接前驱时，树的不平衡性会向上传导，因此，这里我们重点关注这种情况；

注意：这里是为了给大家介绍不平衡向上传导的情况，因此选择的是直接前驱；而在实际情况中，我们只需要根据自己的需求进行选择就好

接下我们通过结点 44 44 44 的直接前驱 37 37 37 来替代该结点的位置，由于进行替换的结点只有一个孩子，因此该结点的位置由其孩子进行替代：
33
平衡因子: 1 10
平衡因子: -1 37
平衡因子: -2 5
平衡因子: 1 20
平衡因子: -1 35
平衡因子: 0 78
平衡因子: 1 4
平衡因子: 1 8
平衡因子: 0 15
平衡因子: 1 25
平衡因子: 1 50
平衡因子: 1 88
平衡因子: 0 1
平衡因子: 0 NULL 12
平衡因子: 0 NULL 23
平衡因子: 1 28
平衡因子: 0 48
平衡因子: 0 NULL 21
平衡因子: 0 NULL

通过向上查找，我们找到了 最小不平衡子树 ，其根结点为 37 37 37 ，因此我们需要找到其最高的 孩子 和最高的 孙子：
33
平衡因子: 1
h = 6 10
平衡因子: -1
h = 5 37
平衡因子: -2
h = 4 5
平衡因子: 1
h = 3 20
平衡因子: -1
h = 4 35
平衡因子: 0
h = 1 78
平衡因子: 1
h = 3 4
平衡因子: 1
h = 2 8
平衡因子: 0
h = 1 15
平衡因子: 1
h = 2 25
平衡因子: 1
h = 3 50
平衡因子: 1
h = 2 88
平衡因子: 0
h = 1 1
平衡因子: 0
h = 1 NULL 12
平衡因子: 0
h = 1 NULL 23
平衡因子: 1
h = 2 28
平衡因子: 0
h = 1 48
平衡因子: 0
h = 1 NULL 21
平衡因子: 0
h = 1 NULL

其最高的孩子为 右孩子 （R ），其最高的孙子为其 右孩子 的 左子树 （L ），因此我们需要对 最小不平衡子树 的 右孩子 进行一次 右单旋转：
33
平衡因子: 1
h = 6 10
平衡因子: -1
h = 5 37
平衡因子: -2
h = 4 5
平衡因子: 1
h = 3 20
平衡因子: -1
h = 4 35
平衡因子: 0
h = 1 50
平衡因子: -1
h = 3 48
平衡因子: 0
h = 1 78
平衡因子: -1
h = 2 4
平衡因子: 1
h = 2 8
平衡因子: 0
h = 1 15
平衡因子: 1
h = 2 25
平衡因子: 1
h = 3 88
平衡因子: 0
h = 1 NULL 1
平衡因子: 0
h = 1 NULL 12
平衡因子: 0
h = 1 NULL 23
平衡因子: 1
h = 2 28
平衡因子: 0
h = 1 21
平衡因子: 0
h = 1 NULL

再对该 最小不平衡子树 进行一次 左单旋转：
33
平衡因子: 2
h = 6 10
平衡因子: -1
h = 5 50
平衡因子: 0
h = 3 5
平衡因子: 1
h = 3 20
平衡因子: -1
h = 4 37
平衡因子: 0
h = 2 35
平衡因子: 0
h = 1 48
平衡因子: 0
h = 1 78
平衡因子: -1
h = 2 4
平衡因子: 1
h = 2 8
平衡因子: 0
h = 1 15
平衡因子: 1
h = 2 25
平衡因子: 1
h = 3 88
平衡因子: 0
h = 1 NULL 1
平衡因子: 0
h = 1 NULL 12
平衡因子: 0
h = 1 NULL 23
平衡因子: 1
h = 2 28
平衡因子: 0
h = 1 21
平衡因子: 0
h = 1 NULL

完成平衡调整后，我们继续向上查找，发现此时的 最小不平衡子树 为 33 33 33 ，因此我们需要找到其最高的 孩子 和最高的 孙子：
33
平衡因子: 2
h = 6 10
平衡因子: -1
h = 5 50
平衡因子: 0
h = 3 5
平衡因子: 1
h = 3 20
平衡因子: -1
h = 4 37
平衡因子: 0
h = 2 35
平衡因子: 0
h = 1 48
平衡因子: 0
h = 1 78
平衡因子: -1
h = 2 4
平衡因子: 1
h = 2 8
平衡因子: 0
h = 1 15
平衡因子: 1
h = 2 25
平衡因子: 1
h = 3 88
平衡因子: 0
h = 1 NULL 1
平衡因子: 0
h = 1 NULL 12
平衡因子: 0
h = 1 NULL 23
平衡因子: 1
h = 2 28
平衡因子: 0
h = 1 21
平衡因子: 0
h = 1 NULL

其最高的孩子为其 左孩子 （L ），其最高的孙子为 左孩子 的 左子树 （L ），因此我们需要先对其 左孩子 进行一次左单旋转：
33
平衡因子: 2
h = 6 20
平衡因子: 1
h = 5 10
平衡因子: 1
h = 4 50
平衡因子: 0
h = 3 5
平衡因子: 1
h = 3 37
平衡因子: 0
h = 2 35
平衡因子: 0
h = 1 48
平衡因子: 0
h = 1 78
平衡因子: -1
h = 2 4
平衡因子: 1
h = 2 8
平衡因子: 0
h = 1 15
平衡因子: 1
h = 2 25
平衡因子: 1
h = 3 88
平衡因子: 0
h = 1 NULL 1
平衡因子: 0
h = 1 NULL 12
平衡因子: 0
h = 1 NULL 23
平衡因子: 1
h = 2 28
平衡因子: 0
h = 1 21
平衡因子: 0
h = 1 NULL

再对该 最小不平衡子树 进行一次 右单旋转：
20
平衡因子: 0
h = 5 10
平衡因子: 1
h = 4 33
平衡因子: 2
h = 4 25
平衡因子: 1
h = 3 50
平衡因子: 0
h = 3 5
平衡因子: 1
h = 3 37
平衡因子: 0
h = 2 35
平衡因子: 0
h = 1 48
平衡因子: 0
h = 1 78
平衡因子: -1
h = 2 4
平衡因子: 1
h = 2 8
平衡因子: 0
h = 1 15
平衡因子: 1
h = 2 88
平衡因子: 0
h = 1 NULL 1
平衡因子: 0
h = 1 NULL 12
平衡因子: 0
h = 1 NULL 23
平衡因子: 1
h = 2 28
平衡因子: 0
h = 1 21
平衡因子: 0
h = 1 NULL

经过这一的平衡旋转后，整棵树已经恢复了平衡，因此结束删除；

结语

今天的内容到这里就结束了，通过今天的学习，我们系统性地掌握了AVL树删除操作的核心机制。

下面我们一起回顾以下本文的重要知识点：

核心操作步骤：

1. 按照BST规则进行节点删除
2. 向上查找第一个最小不平衡子树
3. 根据"孙子节点"位置判断旋转类型（LL/LR/RR/RL）
4. 执行对应的单旋或双旋操作
5. 检查不平衡是否向上传导，必要时重复调整

关键技巧：

• 通过"最高孩子→最高孙子"的路径判断旋转类型

• 双旋操作需要先对子节点旋转，再对根节点旋转

• 删除操作可能引发连锁不平衡，需要持续向上调整

实际应用：

• 通过6个典型用例，我们完整覆盖了各种删除场景，特别是用例6展示的不平衡向上传导情况，帮助大家深入理解AVL树的自平衡特性。

掌握了AVL树的插入和删除操作后，相信大家对平衡二叉搜索树有了更深刻的理解。这些基础知识对于学习更高级的数据结构（如红黑树、B树等）至关重要。

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