AtCoder真题及详细题解 ABC427C： Bipartize

题目描述

有一个简单的无向图，包含 N N N 个顶点和 M M M 条边。该图由顶点 1 1 1、顶点 2 2 2、......、顶点 N N N 组成，第 i i i 条边（ 1 ≤ i ≤ M 1 \le i \le M 1≤i≤M）连接顶点 u i u _ i ui 和 v i v _ i vi。

你将执行零次或多次以下操作：

选择一条尚未被删除的边，并将其删除。

你的目标是使图变为二分图。找出使操作后的图变为二分图所需的最少操作次数。

简单图是什么意思？

简单图当且仅当没有自环（满足 u i = v i u _ i = v _ i ui=vi 的边）或重边（满足 u i = u j u _ i = u _ j ui=uj 且 v i = v j v _ i = v _ j vi=vj 的边对）时成立。

什么是二分图？

二分图是一种图，其中可以为每个顶点涂上黑色或白色，满足以下条件：

对于每条边，该边连接的两个顶点颜色不同。

输入格式

输入从标准输入按以下格式给出：

N N N M M M
u 1 u _ 1 u1 v 1 v _ 1 v1
u 2 u _ 2 u2 v 2 v _ 2 v2
⋮ \vdots ⋮
u M u _ M uM v M v _ M vM

输出格式

输出使图变为二分图所需执行的操作次数。

输入输出样例 #1

输入 #1

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输出 1

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输入输出样例 2

输入 2

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2 1
1 2

输出 2

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输入输出样例 3

输入 3

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输出 3

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说明/提示

样例解释 1

你可以通过删除两条边使图变为二分图：例如，删除连接顶点 1 1 1 和 3 3 3 的边，以及连接顶点 3 3 3 和 5 5 5 的边。

通过一次或更少的操作无法使图变为二分图，因此输出 2。

样例解释 2

图从一开始就是二分图。因此，需要执行的操作次数为 0 0 0。

约束条件

2 ≤ N ≤ 10 2 \le N \le 10 2≤N≤10
1 ≤ M ≤ N ( N − 1 ) 2 1 \le M \le \dfrac{N(N-1)}2 1≤M≤2N(N−1)
1 ≤ u i < v i ≤ N ( 1 ≤ i ≤ M ) 1 \le u _ i < v _ i \le N \ (1 \le i \le M) 1≤ui<vi≤N (1≤i≤M)
给定的图是简单图。
所有输入值都是整数。

AC代码

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m, t, color[11], ans = 100;  // color数组记录每个顶点的颜色(0或1)，ans记录最小操作次数
struct node {
    int u, v;  // 存储边的结构体
} a[110];  // 存储所有边的数组

// 深度优先搜索函数，i表示当前正在处理的顶点编号
void dfs(int i) {
    // 如果所有顶点都已处理完毕
    if (i == n + 1) {
        int cnt = 0;  // 统计需要删除的边数
        
        // 遍历所有边
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            // 如果边的两个端点颜色相同，说明这条边需要删除
            if (color[a[j].u] == color[a[j].v]) {
                cnt++;
            }
        }
        
        // 更新最小操作次数
        ans = min(ans, cnt);
        return;
    }
    
    // 尝试将当前顶点染成颜色0，然后处理下一个顶点
    color[i] = 0;
    dfs(i + 1);
    
    // 尝试将当前顶点染成颜色1，然后处理下一个顶点
    color[i] = 1;
    dfs(i + 1);
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    
    // 读入所有边
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> a[i].u >> a[i].v;
    }
    
    // 从顶点1开始深度优先搜索
    dfs(1);
    
    // 输出最小操作次数
    cout << ans;
    return 0;
}

算法思路

这是一个使用暴力搜索解决二分图判定问题的方案。由于题目中N的最大值为10，可以枚举所有可能的顶点着色方案。

核心思想

二分图的定义：可以用两种颜色给所有顶点着色，使得任意一条边的两个端点颜色不同
对于每个顶点，都有两种可能的颜色选择（0或1）
通过DFS枚举所有可能的着色方案
对于每种着色方案，统计违反二分图条件的边数（即两端点颜色相同的边数）
取所有方案中的最小违规边数作为答案

关键步骤

DFS枚举：递归地为每个顶点尝试两种颜色
边界条件：当处理完所有顶点后，评估当前着色方案
边检查：对于每条边，检查两个端点颜色是否相同
结果更新：记录所有方案中的最小违规边数

复杂度分析

时间复杂度：O( 2 N 2^N 2N × M)，其中N是顶点数，M是边数
空间复杂度：O(N + M)，用于存储颜色数组和边列表

文末福利：《12大高频考点专题集训》

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 
int main(){
    cout<<"############# 祝看到这篇秘籍的OIer： ###############";
    cout<<"#### AC不是偶然，一等奖是必然！祝你AK全场！ ########";
    cout<<"############# 复赛夺魁，一等在手！ #################";
    return 0;
}