【人工智能数学基础】什么是高斯分布/正态分布？

正态分布是概率论与统计学中最重要的连续概率分布 。它描述了一个大量独立、随机变量之和的分布会趋近于 的分布形态。因其曲线呈钟形，故又常被称为钟形曲线。

正态分布的概率密度函数决定了其钟形曲线的形状，其数学表达式为：

f ( x ) = 1 σ 2 π e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} f(x)=σ2π 1e−21(σx−μ)2

其中：

集中性 ：曲线的峰值位于均值 μ \mu μ 处，这意味着数据在均值附近出现的概率最大。
对称性 ：曲线以 x = μ x = \mu x=μ为轴完全对称。这意味着，数据落在 μ \mu μ左侧和右侧同等距离区间内的概率是相等的。
钟形形态 ：从均值点向两侧，曲线逐渐下降，且"钟"的形状由标准差 σ \sigma σ 决定。
- σ \sigma σ越大，曲线越扁平、宽胖，数据越分散。
- σ \sigma σ越小，曲线越高耸、瘦窄，数据越集中。

当均值 μ = 0 \mu = 0 μ=0，标准差 σ = 1 \sigma = 1 σ=1时，正态分布被称为标准正态分布。

其概率密度函数简化为： ϕ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} ϕ(x)=2π 1e−2x2
任何一般的正态分布都可以通过 Z变换（标准化） 转化为标准正态分布：
Z = X − μ σ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} Z=σX−μ
其中 Z Z Z被称为标准分数（Z-score），表示一个数据点离均值有多少个标准差。

对于任何正态分布的数据：

这个法则非常实用，可以快速估算数据的分布情况。

正态分布无处不在的根本原因在于中心极限定理。

当我们从任意一个总体（无论其分布形态如何）中随机抽取大量独立的样本，并计算这些样本的均值，那么这些样本均值的分布将近似服从正态分布。样本量越大，近似程度越好。

一个骰子的结果是均匀分布（1到6点概率相等）。但如果你投掷10次骰子，计算这10次的平均值，并将这个实验重复成千上万次，你会发现这些"平均点数"的分布会形成一个漂亮的钟形曲线，逼近正态分布。

这解释了为什么在自然界和社会科学中，许多现象的测量值都近似服从正态分布，因为它们往往是许多微小、独立的随机因素共同作用的结果。例如，一个人的身高是由遗传、营养、环境等多种因素综合决定的。

正态分布的应用几乎遍及所有定量研究领域。

在生产制造中，用于监控产品质量。如果产品尺寸等关键指标偏离正态分布，可能意味着生产过程出现了问题。六西格玛的目标就是将缺陷率控制在均值±6个标准差之外，即百万分之3.4的缺陷率。

方面	核心要点
别名	高斯分布、钟形曲线
核心定义	描述大量独立随机变量之和的极限分布
数学关键	由均值(( \mu ))决定位置，标准差(( \sigma ))决定形状
核心特性	集中性、对称性、钟形、经验法则
普遍性原因	中心极限定理
主要应用	自然科学测量、社会科学指标、质量控制、金融建模、统计推断、机器学习等