在应急物资调度常涉及条件性约束（如：若启动某储备点，则需满足最低物资储备量；若发生重大灾害，则运输车辆需优先保障）。这类逻辑约束需通过大 M 法转化为线性约束，而 M 的取值直接影响约束的 "生效强度"。
直观的理论分析
设二进制变量y∈0,1y \in {0,1}y∈0,1表示 "是否触发某条件"（如y=1表示启动应急储备点），连续变量x表示决策变量（如物资调出量）。常见逻辑为：
- 若y=1y=1y=1（触发条件），则x≥Lx \geq Lx≥L（需满足最低要求，如最低调出量）；
- 若y=0y=0y=0（不触发），则x=0x=0x=0（不调出物资）。
上述表达形式可转化为如下线性约束：
(1)x≥L⋅y−M⋅(1−y)(1) \quad x \geq L⋅y−M⋅(1−y)(1)x≥L⋅y−M⋅(1−y)
(2)x≤M⋅y(2) \quad x \leq M⋅y(2)x≤M⋅y
其中，MMM为足够大的常数。当y=1y=1y=1时，约束 (2) 变为x≤Mx \leq Mx≤M（不影响，因MMM足够大），约束 (1) 变为 x \\geq L（生效）；当（生效）；当（生效）；当y=0时，约束(1)变为时，约束 (1) 变为时，约束(1)变为x \\geq −M（不影响，因（不影响，因（不影响，因x≥0），约束(2)变为），约束 (2) 变为），约束(2)变为x \\leq 0（生效，即x=0）。
M 取值的影响：
- M 过小：若M<L，当y=1时，约束 (2) 可能限制x≤M<L，与约束 (1) 的x≥L矛盾，导致可行域为空；
- M 过大：线性松弛问题的可行域范围膨胀，可能导致求解效率下降（如分支定界树过深），甚至数值不稳定；
- 最优 M：取变量x的理论最大可能值（如储备点最大库存量），确保M≥L且不冗余。
一个简单的案例
问题背景：某地发生地震，需从两个储备点（A 和 B）向灾区调运医疗物资（如绷带）。决策目标是最小化总运输成本，同时满足：
- 若启动储备点（yA=1y_A=1yA=1或yB=1y_B=1yB=1），则该点调出量xAx_AxA（或xBx_BxB）不得低于 50 单位（确保灾区基本需求）；
- 若不启动储备点（yA=1y_A=1yA=1或yB=1y_B=1yB=1），则调出量为 0；灾区总需求为 100 单位，需完全满足。
模型参数：A 到灾区的运输成本为单价8元/单位，B到灾区运输成本为单价10元/单位；储备点最大库存量，A为80单位，B为100单位；最低调出量L=50单位，在启动时需满足。
完整模型
决策变量：
xAx_AxA：从 A 调出的物资量,连续变量,xA≥0x_A\geq 0xA≥0;
xBx_BxB：从B调出的物资量,连续变量,xB≥0x_B \geq 0xB≥0;
yAy_AyA:是否启动 A,二进制变量,yA∈{0,1}y_A \in \{0,1\}yA∈{0,1};
yBy_ByB:是否启动 B,二进制变量,yB∈{0,1}y_B \in \{0,1\}yB∈{0,1}.
目标函数（最小化运输成本）：
minz=8xA+10xBmin z=8x_A + 10x_Bminz=8xA+10xB
约束条件：
xA+xB==100x_A + x_B == 100xA+xB==100 必须满足灾区总需求
x_A \\geq 50y_A - M(1-y_A) A启动
x_B \\geq 50y_B - M(1-y_B) B启动
x_A \\leq 80 $ A的调出量
x_B \\leq 100 B的调出量
xA≥0,xB≥0x_A \geq 0, x_B \geq 0xA≥0,xB≥0 连续变量界
yA,yB∈{0,1}y_A, y_B \in \{0,1\}yA,yB∈{0,1}二进制变量界
Docplex的求解代码
python
from docplex.mp.model import Model
import time
def solve_emergency_model(M):
# 创建模型
m = Model(name="应急物资调度")
# 决策变量
x_A = m.continuous_var(name="x_A", lb=0) # 储备点A调出量
x_B = m.continuous_var(name="x_B", lb=0) # 储备点B调出量
y_A = m.binary_var(name="y_A") # 是否启动A
y_B = m.binary_var(name="y_B") # 是否启动B
# 约束条件
m.add_constraint(x_A + x_B == 100, "需求满足") # 总需求100
# A的启动约束（大M）
m.add_constraint(x_A >= 50 * y_A - M * (1 - y_A), "A下限约束")
m.add_constraint(x_A <= M * y_A, "A上限约束")
# B的启动约束（大M）
m.add_constraint(x_B >= 50 * y_B - M * (1 - y_B), "B下限约束")
m.add_constraint(x_B <= M * y_B, "B上限约束")
# 库存限制
m.add_constraint(x_A <= 80, "A库存限制")
m.add_constraint(x_B <= 100, "B库存限制")
# 目标函数：最小化运输成本
m.minimize(8 * x_A + 10 * x_B)
# 求解
sol = m.solve()
if sol:
print(f"当M={M}时：")
print(f"x_A = {x_A.solution_value:.0f}, x_B = {x_B.solution_value:.0f}")
print(f"y_A = {y_A.solution_value}, y_B = {y_B.solution_value}")
print(f"最小总成本 = {m.objective_value:.0f}\n")
else:
print(f"当M={M}时，无可行解（约束矛盾）\n")
# 测试不同M值
time1 = time.time()
solve_emergency_model(M=40) # 过小
time2 = time.time()
print(f'M=40的求解耗时为：{time2-time1}\n')
solve_emergency_model(M=80) # 最优
time3 = time.time()
print(f'M=80的求解耗时为：{time3-time2}\n')
solve_emergency_model(M=1000000000) # 过大
time4 = time.time()
print(f'M=1000000000的求解耗时为：{time4-time3}\n')运行代码的结果为：
总结
大 M 的取值需严格依据变量理论边界（如库存上限）：
- 过小会导致约束矛盾，丧失可行性；
- 过大不影响最优解，但降低求解效率；
- 合理取值应确保 "刚好覆盖变量最大可能值"，平衡约束有效性与求解效率。