超平面与直线

超平面与直线

by\mathscr{by}by AmamiyaFuko\mathfrak{AmamiyaFuko}AmamiyaFuko

星火长川，缀于神州

直线

直线是一种特殊的超平面，它在二维空间的表达式为

Ax+By+C=0 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0

这里我们先来看它的齐次形式，即

Ax+By=0 Ax+By=0 Ax+By=0

我们知道欧几里德范数，也就是向量的点积，它的运算形式是Aˇ⋅Bˇ→R\v{A}\cdot \v{B} \to RAˇ⋅Bˇ→R，也就是

∑AˇiBˇi \sum \v{A}{i}\v{B}{i} ∑AˇiBˇi

相似的，我们也可以将直线方程理解为两个向量的点积，即iˇ=(A,B)\v{i}=(A,B)iˇ=(A,B)，jˇ=(x,y)\v{j}=(x,y)jˇ=(x,y)，iˇ⋅jˇ=0\v{i}\cdot \v{j}=0iˇ⋅jˇ=0，即二者正交，也即二者垂直。

同理，我们也可以将这点推广，将直线的非齐次形式理解为两个向量的点积。

首先，我们知道iˇ\v{i}iˇ的模长是一个定值，问题在于jˇ\v{j}jˇ在iˇ\v{i}iˇ上投影的长度，不过这在几何上很好理解，因为二者点积也是一个定值，我们对其求一个逆运算，也就是除法，就可以得到这个投影的长度，它显然是−C∣iˇ∣{-\frac{C}{|\v{i}|}}−∣iˇ∣C

那么，jˇ\v{j}jˇ所有可能的坐标在二维空间就是一条直线。如果你感到疑惑的话，可以画一个直角三角形，然后把它的一条直角边无限延长。

推广到三维空间来说，也就是一个平面，总的说，你会发现这始终比它所在的空间少一维，在四维或者更高维也是这样，所以我们叫它超平面。

不过，虽然这种理解是可行的，但还是太过复杂，我们在日常中还是将其理解为对其齐次形式，在某一方向上移动了一些，就拿二维的直线说L(x,y)=Ax+By+CL(x,y)=Ax+By+CL(x,y)=Ax+By+C可以理解为Ax+By=0Ax+By=0Ax+By=0向 x轴的负方向移动了C/AC/AC/A个单位，反之亦然。