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泊松分布的参数可加性
波松分布的参数可加性，若 X ∼ P ( λ 1 ) X \sim P(\lambda_1) X∼P(λ1) 。 Y ∼ P ( λ 2 ) Y \sim P(\lambda_2) Y∼P(λ2) 则， Z = X + Y , Z ∼ P ( λ 1 + λ 2 ) Z = X + Y, Z \sim P(\lambda_1 + \lambda_2) Z=X+Y,Z∼P(λ1+λ2)。对这个的等式进行证明；
1、泊松分布：
若随机变量，满足：
P ( X = k ) = e − λ λ k K ! , k = 0, 1, 2, ...且， λ > 0 P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{K!}\text{, k = 0, 1, 2, ...} \text{且，}\lambda > 0 P(X=k)=K!e−λλk, k = 0, 1, 2, ...且，λ>0
称，X是服从参数为： λ \lambda λ 的泊松分布。
2、参数可加性的证明：
若， X ∼ λ = λ 1 X \sim \lambda = \lambda_1 X∼λ=λ1 的泊松分布， Y ∼ λ = λ 2 Y \sim \lambda = \lambda_2 Y∼λ=λ2 的泊松分布。且随机变量 Z = X + Y Z = X + Y Z=X+Y，则， Z ∼ λ = λ 1 + λ 2 Z \sim \lambda = \lambda_1 + \lambda_2 Z∼λ=λ1+λ2 的泊松分布。
证明：
F Z ( z ) = P { Z = z } = P { X + Y = z } = ∑ i = 0 z e − λ 1 λ 1 i i ! e − λ 2 λ 2 z − i ( z − i ) ! = 1 z ! ∑ i = 0 z z ! e − λ 1 λ 1 i i ! e − λ 2 λ 2 z − i ( z − i ) ! = e − ( λ 1 + λ 2 ) z ! C z i λ 1 i λ 2 z − i = e − ( λ 1 + λ 2 ) z ! ( λ 1 + λ 2 ) z = P ( λ 1 + λ 2 ) \begin{split} F_Z(z) &= P\{ Z = z \} = P\{ X + Y = z \}\\ &= \sum_{i=0}^{z}\frac{e^{-\lambda_1}\lambda_1^i}{i!}\frac{e^{-\lambda_2}\lambda_2^{z-i}}{(z-i)!}\\ &=\frac{1}{z!}\sum_{i=0}^{z}z!\frac{e^{-\lambda_1}\lambda_1^i}{i!}\frac{e^{-\lambda_2}\lambda_2^{z-i}}{(z-i)!}\\ &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{z!} C_z^i\lambda_1^i\lambda_2^{z-i} \\ &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{z!}(\lambda_1 + \lambda_2)^z\\ &= P(\lambda_1 + \lambda_2) \end{split} FZ(z)=P{Z=z}=P{X+Y=z}=i=0∑zi!e−λ1λ1i(z−i)!e−λ2λ2z−i=z!1i=0∑zz!i!e−λ1λ1i(z−i)!e−λ2λ2z−i=z!e−(λ1+λ2)Cziλ1iλ2z−i=z!e−(λ1+λ2)(λ1+λ2)z=P(λ1+λ2)
证明结束！