【LeetCode】99. 恢复二叉搜索树

熬了夜的程序员2025-11-06 19:35

文章目录

99. 恢复二叉搜索树

题目描述

给你二叉搜索树的根节点 root ，该树中的 恰好 两个节点的值被错误地交换。请在不改变其结构的情况下，恢复这棵树 。

示例 1：

输入：root = [1,3,null,null,2]

输出：[3,1,null,null,2]

解释：3 不能是 1 的左孩子，因为 3 > 1 。交换 1 和 3 使二叉搜索树有效。

示例 2：

输入：root = [3,1,4,null,null,2]

输出：[2,1,4,null,null,3]

解释：2 不能在 3 的右子树中，因为 2 < 3 。交换 2 和 3 使二叉搜索树有效。

提示：

  • 树上节点的数目在范围 [2, 1000] 内
  • -2^31 <= Node.val <= 2^31 - 1

进阶：使用 O(n) 空间复杂度的解法很容易实现。你能想出一个只使用 O(1) 空间的解决方案吗？

解题思路

问题深度分析

这是经典的BST修复 问题，也是中序遍历 的典型应用。核心在于利用BST中序遍历严格递增的性质，找出违反递增关系的两个节点并交换它们的值。

问题本质

给定一个BST，其中恰好两个节点的值被错误交换，需要在不改变树结构的情况下恢复BST。这是一个树遍历 + 错误检测问题，需要找到两个错误节点并交换它们的值。

核心思想

BST中序遍历的递增性：

  1. 中序遍历BST：得到严格递增的序列
  2. 错误检测：找出违反递增关系的节点对
  3. 错误分类 ：
    • 情况1（相邻交换） ：中序遍历中只有一个逆序对，如 [1,3,2,4] → 交换3和2
    • 情况2（非相邻交换） ：中序遍历中有两个逆序对，如 [1,5,3,4,2,6] → 交换5和2
  4. 节点交换：交换找到的两个错误节点的值

关键技巧：

  • 利用中序遍历严格递增的性质
  • 记录前一个访问的节点，检测逆序对
  • 分类处理相邻和非相邻交换的情况
  • 使用Morris遍历实现O(1)空间复杂度
关键难点分析

难点1：错误节点的识别

  • 需要准确识别两个错误交换的节点
  • 相邻交换：只有一个逆序对，两个节点都需要交换
  • 非相邻交换：有两个逆序对，第一个逆序对的前一个节点和第二个逆序对的后一个节点需要交换

难点2：逆序对的判断

  • 中序遍历中，如果前一个节点值 > 当前节点值，说明存在逆序
  • 第一个逆序对：记录前一个节点为first错误节点
  • 第二个逆序对：记录当前节点为second错误节点

难点3：O(1)空间实现

  • 传统中序遍历需要O(n)或O(h)空间
  • Morris遍历可以在O(1)空间内完成中序遍历
  • 需要在Morris遍历过程中记录错误节点
典型情况分析

情况1：相邻节点交换

复制代码 
原始BST:       中序遍历: [1,2,3,4,5]
错误BST:       中序遍历: [1,3,2,4,5]
               错误位置:     ↑  ↑
               逆序对: (3,2)
               交换: 3 ↔ 2
结果: [1,2,3,4,5] ✓

情况2：非相邻节点交换

复制代码 
原始BST:       中序遍历: [1,2,3,4,5,6]
错误BST:       中序遍历: [1,5,3,4,2,6]
               错误位置:   ↑     ↑ ↑
               逆序对1: (5,3)
               逆序对2: (4,2)
               交换: 5 ↔ 2
结果: [1,2,3,4,5,6] ✓

情况3：根节点参与交换

复制代码 
原始BST:       中序遍历: [1,2,3]
错误BST:       中序遍历: [3,2,1]
               错误位置: ↑ ↑   ↑
               逆序对1: (3,2)
               逆序对2: (2,1)
               交换: 3 ↔ 1
结果: [1,2,3] ✓

情况4：叶子节点交换

复制代码 
原始BST:       中序遍历: [1,2,3,4]
错误BST:       中序遍历: [1,4,3,2]
               错误位置:   ↑   ↑ ↑
               逆序对1: (4,3)
               逆序对2: (3,2)
               交换: 4 ↔ 2
结果: [1,2,3,4] ✓
算法对比
算法 时间复杂度 空间复杂度 特点
中序遍历递归 O(n) O(h) 代码简洁，易于理解
中序遍历迭代 O(n) O(n) 避免递归栈溢出
中序遍历优化 O(n) O(h) 只记录错误节点，优化
Morris遍历 O(n) O(1) 最优解法，空间最优

注：n为节点数，h为树高度

算法流程图

主算法流程（中序遍历递归）
graph TD A[recoverTree(root)] --> B[初始化prev, first, second] B --> C[inorder(root)] C --> D{root==nil?} D -->|是| E[return] D -->|否| F[inorder(root.Left)] F --> G{prev != nil?} G -->|是| H{prev.Val > root.Val?} H -->|是| I{first == nil?} I -->|是| J[first = prev, second = root] I -->|否| K[second = root] H -->|否| L[更新prev] G -->|否| M[更新prev] J --> L K --> L M --> N[inorder(root.Right)] L --> N N --> O[交换first和second的值]
错误节点识别流程

否 是 否 是 是 否 中序遍历访问节点 prev != nil? prev = 当前节点 prev.Val > 当前节点.Val? first == nil? 第一个逆序: first=prev, second=当前 第二个逆序: second=当前 继续遍历 遍历完成后交换first和second

Morris遍历流程

是 否 是 否 否 是 cur=root cur.Left==nil? 检查逆序, cur=cur.Right pre=cur.Left的最右节点 pre.Right==nil? 建立线索, cur=cur.Left 拆除线索, 检查逆序, cur=cur.Right cur==nil? 交换first和second

复杂度分析

时间复杂度详解

中序遍历算法：O(n)

  • 需要遍历所有节点一次
  • 每次访问进行常数时间检查
  • 总时间：O(n)

Morris遍历算法：O(n)

  • 每个节点最多被访问两次（建立线索和拆除线索）
  • 每次访问进行常数时间检查
  • 总时间：O(n)
空间复杂度详解

中序遍历递归算法：O(h)

  • 递归调用栈深度为树高度
  • 最坏情况（链状树）：O(n)
  • 最好情况（平衡树）：O(log n)

中序遍历迭代算法：O(n)

  • 需要显式栈存储节点
  • 最坏情况栈大小为n
  • 总空间：O(n)

Morris遍历算法：O(1)

  • 只使用常数额外空间（几个指针变量）
  • 通过修改树指针实现遍历
  • 总空间：O(1)

关键优化技巧

技巧1：中序遍历递归 + 错误节点记录（推荐解法）
go 复制代码 
var prev, first, second *TreeNode

func recoverTree(root *TreeNode) {
    prev, first, second = nil, nil, nil
    inorder(root)
    // 交换两个错误节点的值
    first.Val, second.Val = second.Val, first.Val
}

func inorder(root *TreeNode) {
    if root == nil {
        return
    }
    
    inorder(root.Left)
    
    // 检查逆序
    if prev != nil && prev.Val > root.Val {
        if first == nil {
            // 第一个逆序对
            first = prev
        }
        // 第二个逆序对（可能不存在，如果相邻交换）
        second = root
    }
    prev = root
    
    inorder(root.Right)
}

优势：

  • 时间复杂度：O(n)
  • 空间复杂度：O(h)
  • 代码简洁，逻辑清晰
  • 正确处理相邻和非相邻交换
技巧2：中序遍历迭代
go 复制代码 
func recoverTree(root *TreeNode) {
    var prev, first, second *TreeNode
    stack := []*TreeNode{}
    cur := root
    
    for cur != nil || len(stack) > 0 {
        // 一路向左
        for cur != nil {
            stack = append(stack, cur)
            cur = cur.Left
        }
        
        // 访问节点
        n := len(stack) - 1
        node := stack[n]
        stack = stack[:n]
        
        // 检查逆序
        if prev != nil && prev.Val > node.Val {
            if first == nil {
                first = prev
            }
            second = node
        }
        prev = node
        
        // 转向右子树
        cur = node.Right
    }
    
    // 交换
    first.Val, second.Val = second.Val, first.Val
}

特点：避免递归，适合深度很大的树

技巧3：中序遍历优化（只记录错误节点）
go 复制代码 
func recoverTree(root *TreeNode) {
    var prev, first, second *TreeNode
    
    var dfs func(*TreeNode)
    dfs = func(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        dfs(node.Left)
        
        if prev != nil && prev.Val > node.Val {
            if first == nil {
                first = prev
            }
            second = node
        }
        prev = node
        
        dfs(node.Right)
    }
    
    dfs(root)
    first.Val, second.Val = second.Val, first.Val
}

特点：使用闭包，代码更简洁

技巧4：Morris遍历（O(1)空间，最优解法）
go 复制代码 
func recoverTree(root *TreeNode) {
    var prev, first, second *TreeNode
    cur := root
    
    for cur != nil {
        if cur.Left == nil {
            // 访问当前节点
            if prev != nil && prev.Val > cur.Val {
                if first == nil {
                    first = prev
                }
                second = cur
            }
            prev = cur
            cur = cur.Right
        } else {
            // 寻找前驱节点
            pre := cur.Left
            for pre.Right != nil && pre.Right != cur {
                pre = pre.Right
            }
            
            if pre.Right == nil {
                // 建立线索
                pre.Right = cur
                cur = cur.Left
            } else {
                // 拆除线索并访问
                pre.Right = nil
                if prev != nil && prev.Val > cur.Val {
                    if first == nil {
                        first = prev
                    }
                    second = cur
                }
                prev = cur
                cur = cur.Right
            }
        }
    }
    
    // 交换
    first.Val, second.Val = second.Val, first.Val
}

优势：

  • 时间复杂度：O(n)
  • 空间复杂度：O(1)
  • 满足进阶要求
  • 适合空间受限的场景

边界条件处理

边界情况1：只有两个节点
  • 处理：两个节点值交换，中序遍历检测到一个逆序对
  • 验证：first和second都正确设置，交换即可
边界情况2：相邻节点交换
  • 处理：只有一个逆序对，first和second都指向这个逆序对的两个节点
  • 验证：交换这两个节点即可
边界情况3：非相邻节点交换
  • 处理：有两个逆序对，first指向第一个逆序对的前一个节点，second指向第二个逆序对的后一个节点
  • 验证：交换first和second即可
边界情况4：根节点参与交换
  • 处理：中序遍历从根节点开始，第一个逆序对可能包含根节点
  • 验证：算法正确处理，first或second可能指向根节点
边界情况5：整数边界值
  • 处理 ：节点值可能为-231或231-1
  • 验证：使用标准比较操作，不受边界值影响

测试用例设计

基础测试用例
  1. 相邻交换 ：[1,3,null,null,2] → [3,1,null,null,2]（交换1和3）
  2. 非相邻交换 ：[3,1,4,null,null,2] → [2,1,4,null,null,3]（交换3和2）
  3. 两个节点 ：[2,1] → [1,2]（交换1和2）
  4. 根节点交换 ：[2,1,3] → [1,2,3]（交换2和1）
进阶测试用例
  1. 完全BST相邻交换 ：[4,2,6,1,5,5,7] → 交换两个5
  2. 链状BST交换 ：[3,2,null,1] → [1,2,null,3]
  3. 深度不平衡交换：极端左偏或右偏的BST
  4. 大值交换：包含边界值的BST
  5. 复杂交换：多层级BST中的非相邻交换
  6. 对称交换：交换后BST结构对称的情况

常见错误和陷阱

错误1：只记录一个错误节点
go 复制代码 
// 错误写法
if prev != nil && prev.Val > root.Val {
    first = prev
    // 忘记设置second
}

// 正确写法
if prev != nil && prev.Val > root.Val {
    if first == nil {
        first = prev
    }
    second = root  // 必须更新second
}

原因：相邻交换时，second需要指向当前节点；非相邻交换时，second需要更新为第二个逆序对的节点

错误2：交换节点而不是交换值
go 复制代码 
// 错误写法：交换节点指针
first, second = second, first

// 正确写法：交换节点值
first.Val, second.Val = second.Val, first.Val

原因：题目要求不改变树结构，只能交换值

错误3：Morris遍历后未恢复树结构
  • 问题：Morris遍历会修改树指针，但遍历过程中会恢复
  • 注意：如果在遍历中断，需要手动恢复所有线索
错误4：prev更新时机错误
go 复制代码 
// 错误写法：在检查逆序前更新prev
prev = root
if prev != nil && prev.Val > root.Val {
    // prev已经指向root，无法检测逆序
}

// 正确写法：先检查逆序，再更新prev
if prev != nil && prev.Val > root.Val {
    // 检测逆序
}
prev = root  // 检查后更新

实用技巧

  1. 优先使用中序遍历递归方法：代码简洁，逻辑清晰，易于理解和调试
  2. 理解错误节点识别：相邻交换vs非相邻交换的处理方式不同
  3. Morris遍历：适合空间受限的场景，但代码复杂度较高
  4. 测试各种情况：相邻交换、非相邻交换、根节点交换等
  5. 注意值交换：只能交换值，不能交换节点指针
  6. 边界值处理：确保算法在极端情况下也能正确工作

进阶扩展

扩展1：恢复多个错误节点
  • 如果BST中有多个节点被错误交换，需要找出所有错误并修复
扩展2：恢复并返回错误信息
  • 不仅恢复BST，还返回具体哪些节点被交换了
扩展3：验证恢复后的BST
  • 恢复后验证BST是否有效
扩展4：最小交换次数
  • 如果允许多次交换，找出恢复BST所需的最少交换次数

应用场景

  1. 数据库索引修复：修复B树/B+树索引中的错误
  2. 数据结构修复：修复BST相关代码中的bug导致的错误
  3. 算法调试：在BST构建算法中检测和修复错误
  4. 数据恢复：从损坏的BST数据中恢复正确结构
  5. 系统维护：定期检查和修复BST结构中的错误

总结

恢复BST是一个经典的树遍历 + 错误检测问题，核心在于：

  1. 利用BST中序遍历递增性质：找出违反递增关系的节点
  2. 正确识别错误节点：区分相邻和非相邻交换的情况
  3. 只交换值不交换结构：保持树结构不变
  4. 优化空间复杂度：使用Morris遍历实现O(1)空间

通过系统学习和练习，可以熟练掌握BST恢复的各种方法！

完整题解代码

go 复制代码 
package main

import (
	"fmt"
)

type TreeNode struct {
	Val   int
	Left  *TreeNode
	Right *TreeNode
}

// =========================== 方法一：中序遍历递归 + 错误节点记录（推荐解法） ===========================
var prev1, first1, second1 *TreeNode

func recoverTree1(root *TreeNode) {
	prev1, first1, second1 = nil, nil, nil
	inorder1(root)
	// 交换两个错误节点的值
	if first1 != nil && second1 != nil {
		first1.Val, second1.Val = second1.Val, first1.Val
	}
}

func inorder1(root *TreeNode) {
	if root == nil {
		return
	}

	inorder1(root.Left)

	// 检查逆序
	if prev1 != nil && prev1.Val > root.Val {
		if first1 == nil {
			// 第一个逆序对
			first1 = prev1
		}
		// 第二个逆序对（可能不存在，如果相邻交换）
		second1 = root
	}
	prev1 = root

	inorder1(root.Right)
}

// =========================== 方法二：中序遍历迭代 ===========================
func recoverTree2(root *TreeNode) {
	var prev, first, second *TreeNode
	stack := []*TreeNode{}
	cur := root

	for cur != nil || len(stack) > 0 {
		// 一路向左
		for cur != nil {
			stack = append(stack, cur)
			cur = cur.Left
		}

		// 访问节点
		n := len(stack) - 1
		node := stack[n]
		stack = stack[:n]

		// 检查逆序
		if prev != nil && prev.Val > node.Val {
			if first == nil {
				first = prev
			}
			second = node
		}
		prev = node

		// 转向右子树
		cur = node.Right
	}

	// 交换
	if first != nil && second != nil {
		first.Val, second.Val = second.Val, first.Val
	}
}

// =========================== 方法三：中序遍历优化（闭包） ===========================
func recoverTree3(root *TreeNode) {
	var prev, first, second *TreeNode

	var dfs func(*TreeNode)
	dfs = func(node *TreeNode) {
		if node == nil {
			return
		}
		dfs(node.Left)

		if prev != nil && prev.Val > node.Val {
			if first == nil {
				first = prev
			}
			second = node
		}
		prev = node

		dfs(node.Right)
	}

	dfs(root)
	if first != nil && second != nil {
		first.Val, second.Val = second.Val, first.Val
	}
}

// =========================== 方法四：Morris遍历（O(1)空间，最优解法） ===========================
func recoverTree4(root *TreeNode) {
	var prev, first, second *TreeNode
	cur := root

	for cur != nil {
		if cur.Left == nil {
			// 访问当前节点
			if prev != nil && prev.Val > cur.Val {
				if first == nil {
					first = prev
				}
				second = cur
			}
			prev = cur
			cur = cur.Right
		} else {
			// 寻找前驱节点（左子树的最右节点）
			pre := cur.Left
			for pre.Right != nil && pre.Right != cur {
				pre = pre.Right
			}

			if pre.Right == nil {
				// 建立线索
				pre.Right = cur
				cur = cur.Left
			} else {
				// 拆除线索并访问当前节点
				pre.Right = nil
				if prev != nil && prev.Val > cur.Val {
					if first == nil {
						first = prev
					}
					second = cur
				}
				prev = cur
				cur = cur.Right
			}
		}
	}

	// 交换
	if first != nil && second != nil {
		first.Val, second.Val = second.Val, first.Val
	}
}

// =========================== 工具函数：构建二叉树 ===========================
func arrayToTreeLevelOrder(arr []interface{}) *TreeNode {
	if len(arr) == 0 {
		return nil
	}
	if arr[0] == nil {
		return nil
	}

	root := &TreeNode{Val: arr[0].(int)}
	queue := []*TreeNode{root}
	i := 1

	for i < len(arr) && len(queue) > 0 {
		node := queue[0]
		queue = queue[1:]

		// 左子节点
		if i < len(arr) && arr[i] != nil {
			left := &TreeNode{Val: arr[i].(int)}
			node.Left = left
			queue = append(queue, left)
		}
		i++

		// 右子节点
		if i < len(arr) && arr[i] != nil {
			right := &TreeNode{Val: arr[i].(int)}
			node.Right = right
			queue = append(queue, right)
		}
		i++
	}

	return root
}

// =========================== 工具函数：中序遍历验证（用于测试） ===========================
func inorderTraversal(root *TreeNode) []int {
	var res []int
	var dfs func(*TreeNode)
	dfs = func(node *TreeNode) {
		if node == nil {
			return
		}
		dfs(node.Left)
		res = append(res, node.Val)
		dfs(node.Right)
	}
	dfs(root)
	return res
}

// =========================== 工具函数：验证BST ===========================
func isValidBST(root *TreeNode) bool {
	var prev *int
	var dfs func(*TreeNode) bool
	dfs = func(node *TreeNode) bool {
		if node == nil {
			return true
		}
		if !dfs(node.Left) {
			return false
		}
		if prev != nil && node.Val <= *prev {
			return false
		}
		prev = &node.Val
		return dfs(node.Right)
	}
	return dfs(root)
}

// =========================== 工具函数：复制树（用于测试） ===========================
func copyTree(root *TreeNode) *TreeNode {
	if root == nil {
		return nil
	}
	newRoot := &TreeNode{Val: root.Val}
	newRoot.Left = copyTree(root.Left)
	newRoot.Right = copyTree(root.Right)
	return newRoot
}

// =========================== 测试 ===========================
func main() {
	fmt.Println("=== LeetCode 99: 恢复二叉搜索树 ===\n")

	testCases := []struct {
		name         string
		root         *TreeNode
		expected     []int // 恢复后的中序遍历结果
		expectedSwap []int // 被交换的两个值（用于验证）
	}{
		{
			name:         "例1: [1,3,null,null,2] - 相邻交换",
			root:         arrayToTreeLevelOrder([]interface{}{1, 3, nil, nil, 2}),
			expected:     []int{1, 2, 3},
			expectedSwap: []int{1, 3},
		},
		{
			name:         "例2: [3,1,4,null,null,2] - 非相邻交换",
			root:         arrayToTreeLevelOrder([]interface{}{3, 1, 4, nil, nil, 2}),
			expected:     []int{1, 2, 3, 4},
			expectedSwap: []int{3, 2},
		},
		{
			name:         "两个节点: [2,1]",
			root:         arrayToTreeLevelOrder([]interface{}{2, 1}),
			expected:     []int{1, 2},
			expectedSwap: []int{1, 2},
		},
		{
			name:         "根节点交换: [2,1,3]",
			root:         arrayToTreeLevelOrder([]interface{}{2, 1, 3}),
			expected:     []int{1, 2, 3},
			expectedSwap: []int{1, 2},
		},
		{
			name:         "复杂交换: [5,3,9,1,4,7,10,null,null,2]",
			root:         arrayToTreeLevelOrder([]interface{}{5, 3, 9, 1, 4, 7, 10, nil, nil, 2}),
			expected:     []int{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10},
			expectedSwap: []int{1, 5}, // 交换1和5
		},
		{
			name:         "链状交换: [3,2,null,1]",
			root:         arrayToTreeLevelOrder([]interface{}{3, 2, nil, 1}),
			expected:     []int{1, 2, 3},
			expectedSwap: []int{1, 3},
		},
		{
			name:         "完全BST交换: [4,2,6,1,3,5,7] -> [4,2,6,1,5,3,7]",
			root:         arrayToTreeLevelOrder([]interface{}{4, 2, 6, 1, 5, 3, 7}), // 交换3和5
			expected:     []int{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
			expectedSwap: []int{3, 5},
		},
	}

	methods := map[string]func(*TreeNode){
		"中序遍历递归": recoverTree1,
		"中序遍历迭代": recoverTree2,
		"中序遍历优化": recoverTree3,
		"Morris遍历":   recoverTree4,
	}

	for methodName, methodFunc := range methods {
		fmt.Printf("方法：%s\n", methodName)
		pass := 0
		for i, tc := range testCases {
			// 复制树以避免修改原始测试用例
			testRoot := copyTree(tc.root)
			methodFunc(testRoot)

			// 验证恢复后的BST
			got := inorderTraversal(testRoot)
			isValid := isValidBST(testRoot)
			expectedMatch := true
			if len(got) != len(tc.expected) {
				expectedMatch = false
			} else {
				for j := range got {
					if got[j] != tc.expected[j] {
						expectedMatch = false
						break
					}
				}
			}

			ok := expectedMatch && isValid
			status := "✅"
			if !ok {
				status = "❌"
			}
			fmt.Printf("  测试%d(%s): %s\n", i+1, tc.name, status)
			if !ok {
				fmt.Printf("    输出中序遍历: %v\n    期望中序遍历: %v\n    是否有效BST: %v\n", got, tc.expected, isValid)
			} else {
				pass++
			}
		}
		fmt.Printf("  通过: %d/%d\n\n", pass, len(testCases))
	}
}
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