文章目录
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- 一、定积分的线性运算性质
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- [1. 数学定义](#1. 数学定义)
- [2. 性质证明](#2. 性质证明)
- [3. 手动求解](#3. 手动求解)
- [4. Python代码](#4. Python代码)
- [5. 执行结果](#5. 执行结果)
- 二、定积分的区间可加性
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- [1. 数学定义](#1. 数学定义)
- [2. 性质证明](#2. 性质证明)
- [3. 手动求解](#3. 手动求解)
- [4. Python代码](#4. Python代码)
- [5. 执行结果](#5. 执行结果)
- 三、定积分的比较定理
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- [1. 数学定义](#1. 数学定义)
- [2. 性质证明](#2. 性质证明)
- [3. 手动求解](#3. 手动求解)
- [4. Python代码](#4. Python代码)
- [5. 执行结果](#5. 执行结果)
- 四、定积分的估值定理
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- [1. 数学定义](#1. 数学定义)
- [2. 定理证明](#2. 定理证明)
- [3. 手动求解](#3. 手动求解)
- [4. Python代码](#4. Python代码)
- [5. Python代码执行结果](#5. Python代码执行结果)
- 五、绝对值函数的积分性质
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- [1. 数学定义](#1. 数学定义)
- [2. 性质证明](#2. 性质证明)
- [3. 实例分析](#3. 实例分析)
- [4. Python代码](#4. Python代码)
- [5. 执行结果](#5. 执行结果)
- 六、积分中值定理
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- [1. 数学定义](#1. 数学定义)
- [2. 定理证明](#2. 定理证明)
- [3. 手动求解](#3. 手动求解)
- [4. Python代码](#4. Python代码)
- [5. 执行结果](#5. 执行结果)
在数学分析中，定积分是一门重要的内容，它有着丰富的性质，这些性质对于理解和计算定积分起着关键作用。以下将详细介绍定积分的线性运算性质、区间可加性、比较定理、估值定理、绝对值函数的积分性质以及积分中值定理，并通过手动求解和Python代码进行示例说明。
一、定积分的线性运算性质
1. 数学定义
若函数 f ( x ) f(x) f(x) 和 g ( x ) g(x) g(x) 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上可积，则对于任意的实数 α \alpha α 和 β \beta β，函数 α f ( x ) + β g ( x ) \alpha f(x) + \beta g(x) αf(x)+βg(x) 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上也可积，且 ∫ a b [ α f ( x ) + β g ( x ) ] d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x \int_{a}^{b}[\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha\int_{a}^{b}f(x)dx + \beta\int_{a}^{b}g(x)dx ∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx
2. 性质证明
证明过程： 由于 f ( x ) f(x) f(x) 和 g ( x ) g(x) g(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上可积，根据可积性的定义，对于任意分割 T T T，有： lim ∥ T ∥ → 0 ∑ f ( ξ i ) Δ x i = ∫ a b f ( x ) d x \lim_{\|T\|\to 0} \sum f(\xi_i)\Delta x_i = \int_a^b f(x)dx ∥T∥→0lim∑f(ξi)Δxi=∫abf(x)dx lim ∥ T ∥ → 0 ∑ g ( ξ i ) Δ x i = ∫ a b g ( x ) d x \lim_{\|T\|\to 0} \sum g(\xi_i)\Delta x_i = \int_a^b g(x)dx ∥T∥→0lim∑g(ξi)Δxi=∫abg(x)dx
考虑函数 α f ( x ) + β g ( x ) \alpha f(x) + \beta g(x) αf(x)+βg(x) 的积分和： ∑ [ α f ( ξ i ) + β g ( ξ i ) ] Δ x i = α ∑ f ( ξ i ) Δ x i + β ∑ g ( ξ i ) Δ x i \sum [\alpha f(\xi_i) + \beta g(\xi_i)]\Delta x_i = \alpha \sum f(\xi_i)\Delta x_i + \beta \sum g(\xi_i)\Delta x_i ∑[αf(ξi)+βg(ξi)]Δxi=α∑f(ξi)Δxi+β∑g(ξi)Δxi
取极限得： lim ∥ T ∥ → 0 ∑ [ α f ( ξ i ) + β g ( ξ i ) ] Δ x i = α lim ∥ T ∥ → 0 ∑ f ( ξ i ) Δ x i + β lim ∥ T ∥ → 0 ∑ g ( ξ i ) Δ x i \lim_{\|T\|\to 0} \sum [\alpha f(\xi_i) + \beta g(\xi_i)]\Delta x_i = \alpha \lim_{\|T\|\to 0} \sum f(\xi_i)\Delta x_i + \beta \lim_{\|T\|\to 0} \sum g(\xi_i)\Delta x_i ∥T∥→0lim∑[αf(ξi)+βg(ξi)]Δxi=α∥T∥→0lim∑f(ξi)Δxi+β∥T∥→0lim∑g(ξi)Δxi 即： ∫ a b [ α f ( x ) + β g ( x ) ] d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx ∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx 证毕。
3. 手动求解
假设 f ( x ) = x f(x)=x f(x)=x， g ( x ) = x 2 g(x)=x^2 g(x)=x2， a = 0 a = 0 a=0， b = 1 b = 1 b=1， α = 2 \alpha = 2 α=2， β = 3 \beta = 3 β=3。 首先分别计算 ∫ 0 1 f ( x ) d x \int_{0}^{1}f(x)dx ∫01f(x)dx 和 ∫ 0 1 g ( x ) d x \int_{0}^{1}g(x)dx ∫01g(x)dx：
- ∫ 0 1 x d x = [ 1 2 x 2 ] 0 1 = 1 2 ( 1 2 − 0 2 ) = 1 2 \int_{0}^{1}x dx=\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1=\frac{1}{2}(1^2 - 0^2)=\frac{1}{2} ∫01xdx=[21x2]01=21(12−02)=21
- ∫ 0 1 x 2 d x = [ 1 3 x 3 ] 0 1 = 1 3 ( 1 3 − 0 3 ) = 1 3 \int_{0}^{1}x^2 dx=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^1=\frac{1}{3}(1^3 - 0^3)=\frac{1}{3} ∫01x2dx=[31x3]01=31(13−03)=31
然后计算 ∫ 0 1 [ 2 f ( x ) + 3 g ( x ) ] d x = ∫ 0 1 ( 2 x + 3 x 2 ) d x \int_{0}^{1}[2f(x)+3g(x)]dx=\int_{0}^{1}(2x + 3x^2)dx ∫01[2f(x)+3g(x)]dx=∫01(2x+3x2)dx： ∫ 0 1 ( 2 x + 3 x 2 ) d x = 2 ∫ 0 1 x d x + 3 ∫ 0 1 x 2 d x = 2 × 1 2 + 3 × 1 3 = 1 + 1 = 2 \begin{align*} \int_{0}^{1}(2x + 3x^2)dx&=2\int_{0}^{1}x dx+3\int_{0}^{1}x^2 dx\\ &=2\times\frac{1}{2}+3\times\frac{1}{3}\\ &=1 + 1\\ &=2 \end{align*} ∫01(2x+3x2)dx=2∫01xdx+3∫01x2dx=2×21+3×31=1+1=2
4. Python代码
python
import sympy
x = sympy.Symbol('x')
alpha = 2
beta = 3
f = x
g = x ** 2
a = 0
b = 1
integral_alpha_f = alpha * sympy.integrate(f, (x, a, b))
integral_beta_g = beta * sympy.integrate(g, (x, a, b))
integral_alpha_f_plus_beta_g = sympy.integrate(alpha * f + beta * g, (x, a, b))
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, alpha * f, integral_alpha_f))
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, beta * g, integral_beta_g))
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, alpha * f + beta * g, integral_alpha_f_plus_beta_g))5. 执行结果
二、定积分的区间可加性
1. 数学定义
若函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上可积， a < c < b a < c < b a<c<b，则 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , c ] [a, c] [a,c] 与 [ c , b ] [c, b] [c,b] 上均可积，且 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx 若 a < c < b a < c < b a<c<b，且函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , c ] [a, c] [a,c] 与 [ c , b ] [c, b] [c,b] 上均可积，则 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上可积，且上述等式依然成立。
2. 性质证明
证明过程： 由于 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上可积，对于任意包含点 c c c 的分割 T T T，可以将积分和分为两部分： ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i = ∑ x i ∈ [ a , c ] f ( ξ i ) Δ x i + ∑ x i ∈ [ c , b ] f ( ξ i ) Δ x i \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i = \sum_{x_i \in [a,c]} f(\xi_i)\Delta x_i + \sum_{x_i \in [c,b]} f(\xi_i)\Delta x_i i=1∑nf(ξi)Δxi=xi∈[a,c]∑f(ξi)Δxi+xi∈[c,b]∑f(ξi)Δxi
当 ∥ T ∥ → 0 \|T\|\to 0 ∥T∥→0 时，两边取极限得： ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
特别地，当 c c c 不在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 内时，通过规定 ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx，该公式仍然成立。
3. 手动求解
设 f ( x ) = x f(x)=x f(x)=x， a = 0 a = 0 a=0， b = 2 b = 2 b=2， c = 1 c = 1 c=1。
- 计算 ∫ 0 1 x d x = [ 1 2 x 2 ] 0 1 = 1 2 \int_{0}^{1}x dx=\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1=\frac{1}{2} ∫01xdx=[21x2]01=21
- 计算 ∫ 1 2 x d x = [ 1 2 x 2 ] 1 2 = 1 2 ( 2 2 − 1 2 ) = 3 2 \int_{1}^{2}x dx=\left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^2=\frac{1}{2}(2^2 - 1^2)=\frac{3}{2} ∫12xdx=[21x2]12=21(22−12)=23
- 则 ∫ 0 2 x d x = ∫ 0 1 x d x + ∫ 1 2 x d x = 1 2 + 3 2 = 2 \int_{0}^{2}x dx=\int_{0}^{1}x dx+\int_{1}^{2}x dx=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2 ∫02xdx=∫01xdx+∫12xdx=21+23=2
4. Python代码
python
import sympy
x = sympy.Symbol('x')
a = 0
b = 2
c = 1
f = x
integral_a_c = sympy.integrate(f, (x, a, c))
integral_c_b = sympy.integrate(f, (x, c, b))
integral_a_b = sympy.integrate(f, (x, a, b))
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, c, f, integral_a_c))
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(c, b, f, integral_c_b))
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, f, integral_a_b))5. 执行结果
三、定积分的比较定理
1. 数学定义
若函数 f ( x ) f(x) f(x) 和 g ( x ) g(x) g(x) 都在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上可积，且 f ( x ) ≤ g ( x ) f(x)\leq g(x) f(x)≤g(x)，则 ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx
2. 性质证明
证明过程： 由于 f ( x ) ≤ g ( x ) f(x) \leq g(x) f(x)≤g(x)，所以 g ( x ) − f ( x ) ≥ 0 g(x) - f(x) \geq 0 g(x)−f(x)≥0。根据定积分的线性性质： ∫ a b [ g ( x ) − f ( x ) ] d x = ∫ a b g ( x ) d x − ∫ a b f ( x ) d x \int_a^b [g(x) - f(x)]dx = \int_a^b g(x)dx - \int_a^b f(x)dx ∫ab[g(x)−f(x)]dx=∫abg(x)dx−∫abf(x)dx
又因为非负函数的积分非负，即 ∫ a b [ g ( x ) − f ( x ) ] d x ≥ 0 \int_a^b [g(x) - f(x)]dx \geq 0 ∫ab[g(x)−f(x)]dx≥0，所以： ∫ a b g ( x ) d x − ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 \int_a^b g(x)dx - \int_a^b f(x)dx \geq 0 ∫abg(x)dx−∫abf(x)dx≥0 即： ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 证毕。
3. 手动求解
设 f ( x ) = x f(x)=x f(x)=x， g ( x ) = x 2 g(x)=x^2 g(x)=x2， a = 0 a = 0 a=0， b = 1 b = 1 b=1。 因为在区间 [ 0 , 1 ] [0, 1] [0,1] 上， x ≥ x 2 x\geq x^2 x≥x2（可通过 x − x 2 = x ( 1 − x ) ≥ 0 x - x^2=x(1 - x)\geq0 x−x2=x(1−x)≥0， x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0, 1] x∈[0,1] 得到）。
- 计算 ∫ 0 1 x d x = [ 1 2 x 2 ] 0 1 = 1 2 \int_{0}^{1}x dx=\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1=\frac{1}{2} ∫01xdx=[21x2]01=21
- 计算 ∫ 0 1 x 2 d x = [ 1 3 x 3 ] 0 1 = 1 3 \int_{0}^{1}x^2 dx=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^1=\frac{1}{3} ∫01x2dx=[31x3]01=31 显然 1 2 ≥ 1 3 \frac{1}{2}\geq\frac{1}{3} 21≥31，满足比较定理。
4. Python代码
python
import sympy
x = sympy.Symbol('x')
a = 0
b = 1
f = x
g = x ** 2
integral_f = sympy.integrate(f, (x, a, b))
integral_g = sympy.integrate(g, (x, a, b))
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, f, integral_f))
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, g, integral_g))
print("Is ∫ from {} to {} of f(x)dx >= ∫ from {} to {} of g(x)dx? {}".format(a, b, a, b, integral_f >= integral_g))5. 执行结果
四、定积分的估值定理
1. 数学定义
设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上可积，且存在最大值 M M M 和最小值 m m m，则 m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) m(b - a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b - a) m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)
2. 定理证明
证明过程： 证明的核心思想是利用定积分的比较性质 （若在区间上恒有 f ( x ) ≤ g ( x ) f(x) \leq g(x) f(x)≤g(x)，则 ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx）。
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建立不等式 ：由于 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续，根据闭区间上连续函数的性质，它在该区间上能取得最大值 M M M 和最小值 m m m。因此，对于区间内任意一点 x x x，都有： m ≤ f ( x ) ≤ M m \leq f(x) \leq M m≤f(x)≤M
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积分保号性应用 ：对上述不等式两边在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上进行积分： ∫ a b m d x ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b M d x \int_{a}^{b} m \, dx \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} M \, dx ∫abmdx≤∫abf(x)dx≤∫abMdx
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计算常数积分 ：常数函数 m m m 和 M M M 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上的积分很容易计算： ∫ a b m d x = m ( b − a ) , ∫ a b M d x = M ( b − a ) \int_{a}^{b} m \, dx = m(b-a), \quad \int_{a}^{b} M \, dx = M(b-a) ∫abmdx=m(b−a),∫abMdx=M(b−a)
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得出结论 ：将上述结果代入，即得： m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq M(b-a) m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a) 至此，估值定理得证。
3. 手动求解
设 f ( x ) = e − sin x f(x)=e^{-\sin x} f(x)=e−sinx， x ∈ [ 0 , π 2 ] x\in[0,\frac{\pi}{2}] x∈[0,2π]。 先求导 f ′ ( x ) = − e − sin x cos x f^\prime(x)=-e^{-\sin x}\cos x f′(x)=−e−sinxcosx，在区间 [ 0 , π 2 ] [0,\frac{\pi}{2}] [0,2π] 上， f ′ ( x ) ≤ 0 f^\prime(x)\leq0 f′(x)≤0，所以 f ( x ) f(x) f(x) 单调递减。 则 M = f ( 0 ) = e − sin 0 = 1 M = f(0)=e^{-\sin 0}=1 M=f(0)=e−sin0=1， m = f ( π 2 ) = e − sin π 2 = 1 e m = f(\frac{\pi}{2})=e^{-\sin\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{e} m=f(2π)=e−sin2π=e1。 b − a = π 2 − 0 = π 2 b - a=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2} b−a=2π−0=2π，根据估值定理有 1 e × π 2 ≤ ∫ 0 π 2 e − sin x d x ≤ 1 × π 2 \frac{1}{e}\times\frac{\pi}{2}\leq\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-\sin x}dx\leq1\times\frac{\pi}{2} e1×2π≤∫02πe−sinxdx≤1×2π。
4. Python代码
python
import sympy
import math
x = sympy.Symbol('x')
a = 0
b = math.pi / 2
f = sympy.exp(-sympy.sin(x))
M = f.subs(x, 0)
m = f.subs(x, math.pi / 2)
interval_length = b - a
lower_bound = m * interval_length
upper_bound = M * interval_length
integral_result = sympy.integrate(f, (x, a, b))
print("m = {}, M = {}, b - a = {}".format(m, M, interval_length))
print("Lower bound: {}, Upper bound: {}".format(lower_bound, upper_bound))
print("Integral result: {}".format(integral_result))5. Python代码执行结果
五、绝对值函数的积分性质
1. 数学定义
若函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上可积，则其绝对值函数 ∣ f ( x ) ∣ |f(x)| ∣f(x)∣ 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上可积，且 ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x \left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\int_{a}^{b}|f(x)|dx ∫abf(x)dx ≤∫ab∣f(x)∣dx
2. 性质证明
证明过程： 由于 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上可积，根据可积性的定义，对于任意分割，积分和收敛。考虑绝对值函数的可积性，需要证明 ∣ f ( x ) ∣ |f(x)| ∣f(x)∣ 也满足可积条件。
对于任意分割 T T T，设 M i M_i Mi 和 m i m_i mi 分别为 f ( x ) f(x) f(x) 在子区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1}, x_i] [xi−1,xi] 上的上确界和下确界，则 ∣ f ( x ) ∣ |f(x)| ∣f(x)∣ 在相同区间上的振幅满足： ω i ( ∣ f ∣ ) ≤ ω i ( f ) \omega_i(|f|) \leq \omega_i(f) ωi(∣f∣)≤ωi(f) 因为 f ( x ) f(x) f(x) 可积，所以 lim ∥ T ∥ → 0 ∑ ω i ( f ) Δ x i = 0 \lim_{\|T\|\to 0} \sum \omega_i(f) \Delta x_i = 0 lim∥T∥→0∑ωi(f)Δxi=0，从而 lim ∥ T ∥ → 0 ∑ ω i ( ∣ f ∣ ) Δ x i = 0 \lim_{\|T\|\to 0} \sum \omega_i(|f|) \Delta x_i = 0 lim∥T∥→0∑ωi(∣f∣)Δxi=0，故 ∣ f ( x ) ∣ |f(x)| ∣f(x)∣ 可积。
对于不等式部分，由三角不等式： − ∣ f ( x ) ∣ ≤ f ( x ) ≤ ∣ f ( x ) ∣ -|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)| −∣f(x)∣≤f(x)≤∣f(x)∣ 两边在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上积分得： − ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x -\int_a^b |f(x)|dx \leq \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b |f(x)|dx −∫ab∣f(x)∣dx≤∫abf(x)dx≤∫ab∣f(x)∣dx 即： ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x \left|\int_a^b f(x)dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|dx ∫abf(x)dx ≤∫ab∣f(x)∣dx 证毕。
3. 实例分析
设 f ( x ) = x f(x)=x f(x)=x， a = − 1 a = -1 a=−1， b = 1 b = 1 b=1。 ∫ − 1 1 x d x = [ 1 2 x 2 ] − 1 1 = 1 2 ( 1 2 − ( − 1 ) 2 ) = 0 \int_{-1}^{1}x dx=\left[\frac{1}{2}x^2\right]{-1}^1=\frac{1}{2}(1^2 - (-1)^2)=0 ∫−11xdx=[21x2]−11=21(12−(−1)2)=0 ∣ f ( x ) ∣ = ∣ x ∣ |f(x)| = |x| ∣f(x)∣=∣x∣， ∫ − 1 1 ∣ x ∣ d x = 2 ∫ 0 1 x d x = 2 × [ 1 2 x 2 ] 0 1 = 1 \int{-1}^{1}|x|dx = 2\int_{0}^{1}x dx=2\times\left[\frac{1}{2}x^2\right]0^1 = 1 ∫−11∣x∣dx=2∫01xdx=2×[21x2]01=1 显然 ∣ ∫ − 1 1 x d x ∣ = 0 ≤ 1 = ∫ − 1 1 ∣ x ∣ d x |\int{-1}^{1}x dx| = 0\leq1=\int_{-1}^{1}|x|dx ∣∫−11xdx∣=0≤1=∫−11∣x∣dx。
4. Python代码
python
import sympy
x = sympy.Symbol('x')
a = -1
b = 1
f = x
abs_f = sympy.Abs(f)
integral_f = sympy.integrate(f, (x, a, b))
integral_abs_f = sympy.integrate(abs_f, (x, a, b))
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, f, integral_f))
print("∫ from {} to {} of |{}| dx = {}".format(a, b, f, integral_abs_f))
print("Is |∫ from {} to {} of {} dx| <= ∫ from {} to {} of |{}| dx? {}".format(a, b, f, a, b, f, abs(integral_f) <= integral_abs_f))5. 执行结果
六、积分中值定理
1. 数学定义
如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续，那么存在 ξ ∈ ( a , b ) \xi\in(a, b) ξ∈(a,b)，使得 ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) \int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b - a) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)
2. 定理证明
证明过程： 由于 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续，根据闭区间上连续函数的性质， f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上取得最小值 m m m 和最大值 M M M，即： m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀ x ∈ [ a , b ] m \leq f(x) \leq M, \quad \forall x \in [a, b] m≤f(x)≤M,∀x∈[a,b]
对不等式两边在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上积分得： m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) m(b - a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b - a) m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)
即： m ≤ 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x ≤ M m \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx \leq M m≤b−a1∫abf(x)dx≤M
根据连续函数的介值定理，存在 ξ ∈ [ a , b ] \xi \in [a, b] ξ∈[a,b]，使得： f ( ξ ) = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x f(\xi) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx f(ξ)=b−a1∫abf(x)dx
整理得： ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) \int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b - a) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a) 证毕。
3. 手动求解
设 f ( x ) = x f(x)=x f(x)=x， a = 0 a = 0 a=0， b = 1 b = 1 b=1。 ∫ 0 1 x d x = [ 1 2 x 2 ] 0 1 = 1 2 \int_{0}^{1}x dx=\left[\frac{1}{2}x^2\right]0^1=\frac{1}{2} ∫01xdx=[21x2]01=21 f ( x ) = x f(x)=x f(x)=x 在 [ 0 , 1 ] [0, 1] [0,1] 上连续，令 f ( ξ ) = 1 2 f(\xi)=\frac{1}{2} f(ξ)=21，即 ξ = 1 2 ∈ ( 0 , 1 ) \xi=\frac{1}{2}\in(0, 1) ξ=21∈(0,1)，此时 ∫ 0 1 x d x = f ( 1 2 ) ( 1 − 0 ) = 1 2 \int{0}^{1}x dx=f(\frac{1}{2})(1 - 0)=\frac{1}{2} ∫01xdx=f(21)(1−0)=21。
4. Python代码
python
import sympy
x = sympy.Symbol('x')
a = 0
b = 1
f = x
integral_result = sympy.integrate(f, (x, a, b))
# 这里只是简单示意中值，实际求解中值可能需要更复杂的数值方法
mid_point = (a + b) / 2
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, f, integral_result))
print("Mid - point value: f({}) = {}".format(mid_point, f.subs(x, mid_point)))5. 执行结果
以上就是定积分的一些基本性质及其相关示例，通过手动计算和Python代码验证，能够更深入地理解这些性质的原理和应用。这些性质在解决定积分相关的计算和证明问题中具有重要作用，对于进一步学习数学分析和相关领域有着坚实的基础意义。
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参考资料：
- 扈志明《微积分》教材
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