引用
在算法学习中，矩阵类问题常涉及对特定元素集合的操作，如对角线、行、列的统计。LeetCode 1572 题"矩阵对角线元素的和"就是这类问题的典型代表，它考察了开发者对矩阵结构的理解、遍历策略的优化以及边界条件的处理能力。
一、问题概述
LeetCode 1572 题要求计算正方形矩阵的主对角线（从左上角到右下角，元素下标满足 `i == j`）和**副对角线**（从右上角到左下角，元素下标满足 `i + j == len(mat) - 1`）元素的和，且交点元素（当矩阵维度为奇数时）仅计算一次。
以示例 1 为例，输入矩阵 `[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]`，主对角线元素为 `1,5,9`，副对角线元素为 `3,5,7`，交点 `5` 仅计算一次，最终和为 `25` 。
二、解题思路
采用一次遍历，双元素处理的策略：遍历矩阵的每一行 `i`，同时累加主对角线元素 `mat[i][i]` 和副对角线元素 `mat[i][len-1-i]`；若矩阵维度为奇数，需减去交点元素的重复值（因该元素被累加了两次）。
这种思路的优势在于仅需一次遍历即可完成所有元素的累加，避免了对主、副对角线的分别遍历，大幅提升了效率。
三、代码实现与解析
```java
java
class Solution {
public int diagonalSum(int[][] mat) {
int len = mat.length;
int sum = 0;
for (int i = 0; i < len; i++) {
sum += mat[i][i]; // 累加主对角线元素
sum += mat[i][len - 1 - i]; // 累加副对角线元素
}
if (len % 2 != 0) { // 处理奇数维度的重复元素
sum -= mat[len / 2][len / 2];
}
return sum;
}
}```
**代码逐句解析**：
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`int len = mat.length;`：获取正方形矩阵的维度（行数列数相等）。
-
循环遍历每一行 `i`，在每次循环中：
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`sum += mat[i][i];`：累加主对角线元素，其列索引与行索引相同。
-
`sum += mat[i][len - 1 - i];`：累加副对角线元素，其列索引为 `len-1-i`（由副对角线的下标规律 `i + j = len-1` 推导而来）。
-
`if (len % 2 != 0)`：判断矩阵维度是否为奇数。若为奇数，矩阵中心的交点元素会被主、副对角线各累加一次，因此需要 `sum -= mat[len / 2][len / 2];` 来去除重复计算。
四、复杂度与边界分析
4.1 复杂度分析
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**时间复杂度**：O(n)，其中 n 是矩阵的维度。算法仅需遍历矩阵的每一行一次，每次遍历执行两次元素累加操作，时间复杂度与矩阵规模线性相关。
-
**空间复杂度**：O(1)，仅使用了 `len` 和 `sum` 两个变量，属于常数级空间开销。
4.2 边界情况验证
-
**矩阵维度为 1**：如示例 3 `[[5]]`，遍历后 `sum` 累加了 `5 + 5 = 10`，因维度为奇数，减去交点元素 `5`，最终输出 `5`，符合预期。
-
**矩阵维度为偶数**：如示例 2 的 `4x4` 全 1 矩阵，主、副对角线无交点，所有元素累加后无需去重，输出 `8`，与示例一致。
-
**矩阵维度为奇数**：如示例 1 的 `3x3` 矩阵，遍历后通过去重操作得到正确结果 `25`。
五、算法思想拓展与应用
5.1 算法思想拓展
本题的"一次遍历，双元素处理"思路可推广至其他对称结构的数组/矩阵问题。例如：
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计算数组的前缀和与后缀和的联合统计时，可通过一次遍历同时更新两个和。
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处理矩阵中对称位置元素的操作（如对称位置元素的交换、差值计算等），均能通过类似的遍历策略优化效率。
5.2 实际应用场景
该算法在以下场景中具有实用价值：
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**图像处理**：在处理正方形图像的对角线特征时（如对角线像素的亮度总和、颜色通道总和等），可快速完成统计。
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**矩阵运算辅助**：在一些线性代数应用中，需快速计算主副对角线元素和以辅助判断矩阵性质（如对角占优性的初步筛查）。
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**数据分析**：对正方形数据矩阵的对角线特征进行统计（如用户行为矩阵中对角线行为的汇总分析）。
六、总结
LeetCode 1572 题"矩阵对角线元素的和"通过一次遍历优化和边界条件处理，展现了高效解决矩阵元素统计问题的思路。其核心在于利用矩阵的对称结构，在一次遍历中同时处理主、副对角线元素，并通过维度奇偶性判断解决重复计算问题。
掌握这种"结构感知 + 遍历优化"的思维，不仅能高效解决本题，还能迁移到数组、矩阵类的各类算法问题中，提升对线性结构的操作与优化能力，为实际开发中的类似场景提供高效解决方案。