线代强化NO3|线性方程组|特征值和特征向量|矩阵的相似性|实对称矩阵|二次型

线性方程组

解的判定

概念
- 线性方程组、齐次、非齐次、导出组
- 表现形式：
  1. 矩阵（系数矩阵，增广矩阵）
  2. 向量（线性表示）
- 研究对象：解的判定（无解，唯一，无穷多解），解的结构（唯一，无穷多）
判定方法
- 核心定理：
  1. 无解等价于 r(A)<r(A∣β)r(A) < r(A \mid \beta)r(A)<r(A∣β)
  2. 唯一解，r(A)=r(A∣β)=nr(A) = r(A \mid \beta) = nr(A)=r(A∣β)=n
  3. 无穷多解，r(A)=r(A∣B)<nr (A)=r (A \mid B)<nr(A)=r(A∣B)<n
- 等价说法：
  1. AX=bAX=bAX=b 有解等价于 b 属于 A 的列向量线性表示
  2. AX=bAX=bAX=b 有无穷多解等价于 AX=0AX=0AX=0 有非零解
  3. Am×nAm \times nAm×n，当m<nm<nm<n时AX=0AX=0AX=0有非零解
方阵判定
- 克拉默法则
- 注：
  1. 优点：能用行列式求解，当n很大时，可用计算机
  2. 缺点：对于非齐次而言，|A|=0 时，区分不出无解还是无穷多解
  3. 对于齐次AX=0AX=0AX=0来讲，缺点被掩盖

齐次解的结构

解的性质
1. 任意解的线性组合仍为方程的解
2. 是 + 不是 = 不是
基础解系
- 概念：解空间的极大线性无关组
- 定理：r(J)=n−r(A)r (J)=n-r (A)r(J)=n−r(A)
计算步骤：
1. 利用初等行变换将增广矩阵化为最简阶梯形矩阵
2. 找到主元列，剩余的未知量为自由量
3. 对自由量赋值（E）
4. 代入齐次线性方程组求解

非齐次解的结构

解的性质：形影相随，本质是对常数列的运算；
通解：齐次通+非齐特
计算步骤：在求非齐次特解时，令自由量为零，代入非齐次方程组求解

特征值和特征向量

概念

内容：特征值、特征向量、特征多项式
注
1. 特征向量一定是非零
2. 计算
3. 宏观：n 阶矩阵有 n 个特征值（可实可虚），每个特征值有无穷多个特征向量

计算

公式：∣A−λE∣=0|A-λE|=0∣A−λE∣=0 求特征值，(A−λE)X=0(A-λE) X=0(A−λE)X=0 求特征向量
方法：
1. 高效方法：转圈（6对，选倍数不是分数，而且最小）
2. 躺平方法：化出一个零，然后按该行（列）展开
3. 万能方法：用定义（6项的和）

性质

特征向量
1. 同一特征值：任意的非零线性组合仍为该特征值的特征向量
2. 不同特征值：线性组合一定不是特征向量
特征值
1. f(A)f(A)f(A)的特征值为 f(λ)f(λ)f(λ)
2. f(A)=0f (A)=0f(A)=0 则 f(λ)=0f (λ)=0f(λ)=0
3. 和为 tr(A)tr (A)tr(A)，积为∣A∣|A|∣A∣
二者关系
- 内容：λ 的重数大于等于 λ的无关的特征向量个数，等于 (A−λE)x=0(A-λE)x=0(A−λE)x=0的基础解系的秩，等于 r(J)=n−r(A−λE)r(J)=n-r (A-λE)r(J)=n−r(A−λE)
- 结论
  1. r(A)=1r (A)=1r(A)=1 则 A 的特征值全为 0(n−1)0(n-1)0(n−1) 重，tr(A)tr (A)tr(A)
  2. A的特征向量的快速求法
    1. 0 的特征向量只需看第一行
    2. tr(A)tr (A)tr(A) 的特征向量只需看第一列

矩阵的相似性

相似

概念
- A=P−1BPA = P^{-1}BPA=P−1BP，则称 A 与 B 相似，记作 A ~B
- 注：
  1. 同阶 n 阶方阵
  2. 反身性，A~A
  3. 对 P 无要求，只要两侧矩阵互逆即可
  4. 对称性，若 A~B，则 B~A
  5. 传递性，若 A_B，BC，则 A~C
  6. 相似与等价的异同
    1. 同：二元关系、同型、反身、对称、传递
    2. 异
      1. 等阶可以是非方阵，相似只能为方阵
      2. 等价的充要条件是秩相等，相似没有充要条件
性质
- 右肩膀
  - 内容
    1. A∼B ⟹ AT∼BTA \sim B \implies A^T \sim B^TA∼B⟹AT∼BT
    2. A∼B ⟹ A−1∼B−1A \sim B \implies A^{-1} \sim B^{-1}A∼B⟹A−1∼B−1
    3. A∼B ⟹ f(A)∼f(B)A \sim B \implies f(A) \sim f(B)A∼B⟹f(A)∼f(B)
    4. A∼B ⟹ A∗∼B∗A \sim B \implies A^* \sim B^*A∼B⟹A∗∼B∗
  - 注
    1. 广义化，A~B 推出f(AT)=f(BT)f(A^T)= f(B^T)f(AT)=f(BT)
    2. 幂和伴随都是相似推
    3. f(A)f (A)f(A)和f(B)f(B)f(B) 为一次多项式，可以反推
    4. A 和 B 二阶可逆，A∗∼B∗A^* \sim B^*A∗∼B∗推出 A~B
- 必要条件
  - 内容：秩、特征值、迹、行列式r(f(A))=r(f(B))r(f(A))=r(f(B))r(f(A))=r(f(B))
  - 注
    1. 必要非充分
    2. 用的多的是特征值相同
    3. 选择题中，用来判不相似，排除法
    4. 解答题中，用来求参数

相似对角化

概念：相似于一个对角阵
判定
- 定理 1（充要）：A 有 n 个线性无关的特征向量等价于 A 可以相似对角化
- 推论 1（充分）：A 有 n 个不同的特征值可推出 A 可以相似对角化
- 定理 2（充要）：λ 的无关特征向量个数 =λ 的重数
- 推论 2（充要）：n−r(A−λE)=λn-r (A-λE)=λn−r(A−λE)=λ 的重数
计算步骤
1. 求特征值作为 λ
2. 求特征向量作为 P
3. 顺序对应

实对称矩阵

特性性质

实对称矩阵一般矩阵特征值只能为实可实可虚不同特征值的特征向量相互正交不同特征值的特征向量线性无关必可相似对角化不一定 \begin{array}{c|c} \hline \text{实对称矩阵} & \text{一般矩阵} \\ \hline \text{特征值只能为实} & \text{可实可虚} \\ \hline \text{不同特征值的特征向量相互正交} & \text{不同特征值的特征向量线性无关} \\ \hline \text{必可相似对角化} & \text{不一定} \\ \hline \end{array} 实对称矩阵特征值只能为实不同特征值的特征向量相互正交必可相似对角化一般矩阵可实可虚不同特征值的特征向量线性无关不一定

A 的特征值为实数（一般矩阵的特征值可实可虚）
不同特征值的特征向量不仅无关，而且正交
A 必可相似对角化

计算步骤

1. 求特征值作为Λ
1. 求特征向量作为P
1. 施密特正交化：将特征向量正交化单位化
1. 按照对应顺序摆放即可

二者区别

联系：均由特征值与特征向量构成
区别
1. 只有实对称矩阵才可正交相似对角化
2. 用正交单位向量组

二次型

概念
- 二次型及其矩阵、齐二次多项式、二次型的秩
合同标准形
- 合同变换
  1. 非退化的线性变换，x=cy（可逆）
  2. 二次型的合同关系
  3. 矩阵的合同关系，CTAC=BC^{T}AC=BCTAC=B，A与B合同
  4. 性质：反身、对称、传递，转置、逆、幂
- 合同标准形
  - 概念：合同于一个标准形
  - 正交变换法：相当于对实对称矩阵的正交相似对角化
  - 配方法：有方配方，无方配凑
惯性指数与惯性定理
- 惯性指数：标准形中，正负特征值个数
- 惯性定理：合同变换保持正负惯性指数
合同规范形
- 概念：标准形中，系数只有 1，-1，0
- 充要条件：
  - 正负惯性指数相同等于二次型合同
  - 合同规范形相同
  - 正负特征值个数相同
正定
- 概念：实对称，XTAX>0(X≠0)X^{T}AX>0 \quad (X \neq 0)XTAX>0(X=0)，则称二次型为正定二次型
- 判定
  *
  1. 定义
  - 1. 正惯性指数为 n
  - 1. 特征值全大于零
  - 1. 合同规范形为 E
  - 1. 存在可逆矩阵 P，使A=PTPA = P^{T}PA=PTP
  - 1. 顺序主子式全大于零
  - 注：1，3，6 用的较多