算法：二叉搜索树的最近公共祖先

题目

函数：

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        
    }
}

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思路

假设p的值小于q

在二叉搜索树中，从根节点开始遍历，遇到的第一个值介于 p 和 q 之间的节点，就是它们的最近公共祖先。

下面是详细的解释，说明为什么这是必然的。

1. 逻辑推理：从根节点开始的"决策"过程

让我们从根节点 root 开始向下查找，假设 p.val < q.val。对于我们当前所在的任何节点 curr，只有三种可能性：

情况一：curr.val 比 p 和 q 的值都大

• curr.val > q.val (因此也必然 curr.val > p.val)
• 推理 ：根据 BST 的特性，既然 p 和 q 的值都比 curr 小，那么它们必定 都位于 curr 的左子树中。
• 结论 ：curr 可能是 p 和 q 的一个公共祖先，但它不是最近的 ，因为它的左孩子 curr.left 是一个更"低"（更近）的公共祖先。因此，我们应该继续在左子树中寻找，即 curr = curr.left。

情况二：curr.val 比 p 和 q 的值都小

• curr.val < p.val (因此也必然 curr.val < q.val)
• 推理 ：根据 BST 的特性，既然 p 和 q 的值都比 curr 大，那么它们必定 都位于 curr 的右子树中。
• 结论 ：curr 同样可能是公共祖先，但也不是最近的。一个更近的祖先在它的右子树中。因此，我们应该继续向右寻找，即 curr = curr.right。

情况三：curr.val 介于 p 和 q 的值之间 (你问题的核心)

• p.val <= curr.val <= q.val
• 推理 ：
  • 因为 p.val <= curr.val，所以节点 p 不可能 在 curr 的右子树中。它只可能在 curr 的左子树 中，或者 p 就是 curr 本身。
  • 因为 q.val >= curr.val，所以节点 q 不可能 在 curr 的左子树中。它只可能在 curr 的右子树 中，或者 q 就是 curr 本身。
• 结论 ：这是我们从根节点下来，第一次 遇到一个节点，使得 p 和 q 被"分叉"到了它的不同子树（或其中一个是该节点本身）。
  • 任何在 curr 之上 的节点（我们之前访问过的），p 和 q 都位于其同一侧（要么都在左边，要么都在右边），所以它们虽然是公共祖先，但不是"最近"的。
  • 任何在 curr 之下 的节点，都不可能是公共祖先了，因为 p 和 q 已经分道扬镳，一个在左，一个在右。
• 因此，这个"分叉点" curr 必然 是它们的最近公共祖先。

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代码

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if(root==null) return null;
        if(p.val > q.val) return lowestCommonAncestor(root, q, p);
        if(root.val > q.val) return lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        if(root.val < p.val) return lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        return root;
    }
}