环形房屋如何 "安全劫舍"？动态规划解题逻辑与技巧
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1、问题描述
你是一个专业的小偷，计划偷窃环形排列的房屋。每间房屋都有一定金额，但如果偷窃相邻的两间房屋就会触发警报。计算在不触发警报的情况下能够偷窃到的最高金额。
2、解题思路
这个问题是经典打家劫舍问题的变种，房屋排列成环形。我们可以将其分解为两个子问题：
- 不偷第一间房屋
- 不偷最后一间房屋
然后取这两个子问题的最大值作为最终结果。
3、动态规划解法
3.1 辅助函数
首先实现一个标准的打家劫舍函数，处理线性排列的房屋：
c
int robLinear(int* nums, int start, int end) {
int prev = 0, curr = 0;
for (int i = start; i < end; i++) {
int temp = curr;
curr = (prev + nums[i] > curr) ? prev + nums[i] : curr;
prev = temp;
}
return curr;
}3.2 主函数
处理环形排列的情况：
c
int rob(int* nums, int numsSize) {
if (numsSize == 0) return 0;
if (numsSize == 1) return nums[0];
// 两种情况：不偷第一间或不偷最后一间
int option1 = robLinear(nums, 0, numsSize - 1);
int option2 = robLinear(nums, 1, numsSize);
return (option1 > option2) ? option1 : option2;
}4、代码解析
-
边界条件处理：
- 空数组返回0
- 只有一间房屋直接返回该房屋金额
-
分解问题：
option1：不偷最后一间房屋（即考虑从第1间到倒数第2间）option2：不偷第一间房屋（即考虑从第2间到最后1间）
-
动态规划核心：
prev和curr分别记录前一步和当前的最大金额- 对于每间房屋，选择偷或不偷的最大值
5、复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，只需两次线性遍历
- 空间复杂度：O(1)，只使用常数空间
6、测试用例
c
int main() {
int nums1[] = {2,3,2};
printf("%d\n", rob(nums1, 3)); // 输出3
int nums2[] = {1,2,3,1};
printf("%d\n", rob(nums2, 4)); // 输出4
int nums3[] = {1,2,3};
printf("%d\n", rob(nums3, 3)); // 输出3
return 0;
}7、关键点总结
- 问题分解：将环形问题分解为两个线性问题
- 动态规划：使用标准打家劫舍的解法处理线性情况
- 空间优化：只用两个变量存储中间结果，无需完整DP数组
- 边界处理：正确处理空数组和单元素数组的情况
8、常见问题解答
Q: 为什么分解为两个子问题？
A: 因为第一间和最后一间不能同时偷，所以要么不偷第一间，要么不偷最后一间。
Q: 如何保证不偷相邻房屋？
A: 动态规划中总是比较偷当前房屋和不偷当前房屋的较大值。
Q: 这个方法能处理所有情况吗？
A: 是的，这种方法能正确处理所有可能的环形排列情况。
Q: 为什么空间复杂度是O(1)？
A: 因为我们只使用了固定数量的变量，没有使用与输入规模相关的额外空间。
面试提示：解释清楚如何将环形问题转化为线性问题，并说明动态规划的状态转移过程，这能展示你对问题的深入理解。
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