线性代数第一章 行列式

一、行列式的定义

1.1 二阶行列式

对于 2 × 2 矩阵：

A = 
| a₁₁  a₁₂ |
| a₂₁  a₂₂ |

其行列式定义为：

|A| = 
| a₁₁  a₁₂ |
| a₂₁  a₂₂ | 
= a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁

例题：计算

| 2  3 |
| 1  4 |

解：

| 2  3 |
| 1  4 | 
= 2 × 4 - 3 × 1 = 8 - 3 = 5

1.2 三阶行列式

对于 3 × 3 矩阵：

A = 
| a₁₁  a₁₂  a₁₃ |
| a₂₁  a₂₂  a₂₃ |
| a₃₁  a₃₂  a₃₃ |

其行列式定义为：

|A| = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ 
     - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

例题：计算

| 1  2  3 |
| 0  1  4 |
| 5  6  0 |

解：

1×1×0 + 2×4×5 + 3×0×6 - 3×1×5 - 2×0×0 - 1×4×6 
= 0 + 40 + 0 - 15 - 0 - 24 = 1

1.3 n阶行列式

n阶行列式定义为：

D = 
| a₁₁  a₁₂  ⋯  a₁ₙ |
| a₂₁  a₂₂  ⋯  a₂ₙ |
|  ⋮    ⋮   ⋱   ⋮  |
| aₙ₁  aₙ₂  ⋯  aₙₙ |

其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 a₁ⱼ₁a₂ⱼ₂⋯aₙⱼₙ 的代数和，其中 j₁,j₂,...,jₙ 是 1,2,...,n 的一个排列。

1.4 特殊行列式

对角行列式：

| a₁₁  0   ⋯  0  |
|  0  a₂₂  ⋯  0  |
|  ⋮   ⋮   ⋱  ⋮  |
|  0   0   ⋯ aₙₙ | 
= a₁₁a₂₂⋯aₙₙ

上三角形行列式：

| a₁₁  a₁₂  ⋯  a₁ₙ |
|  0   a₂₂  ⋯  a₂ₙ |
|  ⋮    ⋮   ⋱   ⋮  |
|  0    0   ⋯  aₙₙ | 
= a₁₁a₂₂⋯aₙₙ

下三角形行列式：

| a₁₁   0   ⋯   0  |
| a₂₁  a₂₂  ⋯   0  |
|  ⋮    ⋮   ⋱   ⋮  |
| aₙ₁  aₙ₂  ⋯  aₙₙ | 
= a₁₁a₂₂⋯aₙₙ

范德蒙德行列式：

| 1     1     ⋯    1    |
| x₁    x₂    ⋯    xₙ   |
| x₁²   x₂²   ⋯   xₙ²   |
|  ⋮     ⋮    ⋱    ⋮    |
| x₁ⁿ⁻¹ x₂ⁿ⁻¹ ⋯  xₙⁿ⁻¹ | 
= ∏(xⱼ - xᵢ) (1 ≤ i < j ≤ n)

1.5 余子式和代数余子式

在n阶行列式 D 中，划去元素 aᵢⱼ 所在的第i行和第j列后，剩下的元素按原顺序构成的 n-1 阶行列式称为 aᵢⱼ 的余子式，记作 Mᵢⱼ。

代数余子式 Aᵢⱼ 定义为：

Aᵢⱼ = (-1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ

例题：求

| 1  2  3 |
| 4  5  6 |
| 7  8  9 | 

中元素 a₂₃ = 6 的余子式和代数余子式

解 ：

余子式 M₂₃ =

| 1  2 |
| 7  8 | 
= 1 × 8 - 2 × 7 = -6

代数余子式 A₂₃ = (-1)²⁺³M₂₃ = (-1)⁵ × (-6) = 6

二、行列式的性质

2.1 行列式的基本性质

1. 行列式与它的转置行列式相等：|A| = |Aᵀ|
2. 互换行列式的两行（列），行列式变号
3. 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用k乘此行列式
4. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零
5. 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以拆分为两个行列式之和
6. 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变

2.2 行列式的转置

行列式 |A| 的转置行列式 |Aᵀ| 满足 |A| = |Aᵀ|。

例题：验证

| 1  2 |     | 1  3 |
| 3  4 |  =  | 2  4 |

解：

| 1  2 | = 1 × 4 - 2 × 3 = -2
| 3  4 |

| 1  3 | = 1 × 4 - 3 × 2 = -2
| 2  4 |

两者相等。

三、行列式的计算

3.1 对角线法则

适用于二阶和三阶行列式：

• 二阶：主对角线乘积减去副对角线乘积
• 三阶：六条对角线法则

3.2 三角行列式的值

上三角行列式、下三角行列式、对角行列式的值都等于主对角线上元素的乘积。

例题：计算

| 2  3  1 |
| 0  4  5 |
| 0  0  6 |

解：这是上三角行列式，值为 2 × 4 × 6 = 48

3.3 行列式按行（列）展开

n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和：

|A| = Σ aᵢⱼAᵢⱼ (按第i行展开)
|A| = Σ aᵢⱼAᵢⱼ (按第j列展开)

例题：按第一行展开计算

| 1  2  3 |
| 0  4  5 |
| 0  0  6 |

解：

1 × (-1)¹⁺¹ | 4  5 | + 2 × (-1)¹⁺² | 0  5 | + 3 × (-1)¹⁺³ | 0  4 |
            | 0  6 |               | 0  6 |               | 0  0 |

= 1 × 1 × (4 × 6 - 5 × 0) + 2 × (-1) × (0 × 6 - 5 × 0) + 3 × 1 × (0 × 0 - 4 × 0)
= 24 + 0 + 0 = 24

3.4 三角化方法

通过初等行变换将行列式化为三角形行列式。

例题：计算

| 1  2  3 |
| 4  5  6 |
| 7  8  9 |

解：

| 1  2  3 |   R₂-4R₁, R₃-7R₁   | 1   2    3  |
| 4  5  6 |  ------------------------------------------------→ | 0  -3   -6  |
| 7  8  9 |                     | 0  -6  -12  |

R₃-2R₂   | 1   2    3  |
---------------→ | 0  -3   -6  | = 0
        | 0   0    0  |

3.5 升阶法

通过增加一行一列，使新行列式更容易计算。

例题：计算

| 1+a₁  a₂   ⋯  aₙ  |
|  a₁  1+a₂  ⋯  aₙ  |
|  ⋮    ⋮    ⋱  ⋮   |
|  a₁   a₂   ⋯ 1+aₙ |

解：升阶为 n+1 阶行列式：

| 1   a₁   a₂   ⋯   aₙ  |
| 0  1+a₁  a₂   ⋯   aₙ  |
| 0   a₁  1+a₂  ⋯   aₙ  |
| ⋮   ⋮    ⋮    ⋱   ⋮   |
| 0   a₁   a₂   ⋯  1+aₙ |

通过初等变换可得原行列式值为 1 + Σaᵢ

3.6 降阶法

利用行列式展开定理，将高阶行列式化为低阶行列式计算。

3.7 递推公式法

建立行列式值与低阶行列式值之间的关系。

例题：计算n阶行列式

Dₙ = 
| 2  1  0  ⋯  0 |
| 1  2  1  ⋯  0 |
| 0  1  2  ⋯  0 |
| ⋮  ⋮  ⋮  ⋱  ⋮ |
| 0  0  0  ⋯  2 |

解：按第一行展开得递推公式 Dₙ = 2Dₙ₋₁ - Dₙ₋₂

结合 D₁ = 2，D₂ =

| 2  1 |
| 1  2 | 
= 3

解得 Dₙ = n+1

3.8 数学归纳法

用于证明行列式的一般表达式。

历年考题精选

1. 计算行列式：

   | 1 2 3 4 |
   | 2 3 4 1 |
   | 3 4 1 2 |
   | 4 1 2 3 |

2. 证明：

   | a b c |
   | b c a |
   | c a b |
   = -½(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]

3. 计算n阶行列式：

   | x a a ⋯ a |
   | a x a ⋯ a |
   | a a x ⋯ a |
   | ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ |
   | a a a ⋯ x |

这些题目涵盖了行列式计算的各种方法，建议读者尝试用不同方法求解，以加深对行列式理论和计算技巧的理解。