一、微分方程的直观理解------从生长曲线开始
1. 引言
假设我们有一个物体的数量N(t)，它随时间 t变化。微分方程就是用未知函数与其导数（变化率）之间的关系来描述这个过程。
直观上，导数表示单位时间内数量变化的速度。
如果我们知道变化速度 怎么依赖于当前数量N(t)，就可以写出微分方程。
2. 指数增长模型（最简单的生长曲线）
假设增长速度与当前数量成正比：
其中，r > 0是增长率。
意思：数量越大，增长越快（比如细菌繁殖）。
这是一个一阶线性微分方程。
解法：
两边积分：
即:,其中
是初始数量。
特点：
随时间指数增长，没有限制。
曲线是单调上升的"指数曲线"。
一般是自然条件下细菌、蓝藻，人为条件下营养充足的培养瓶里的果蝇
二、引入"环境容量K"限制------Logistic生长模型
1. 模型背景
真实生长往往不是无限制的，而是受环境资源限制。假设：
当数量较少时，增长接近指数增长。
当数量接近环境最大容量 K时，增长速度趋近于0。
用微分方程描述：
其中
r是增长率，
K是环境容量。
2.方程含义解析
N/K是环境容量比率，如果比率最大应该是1，表示剩余的环境容量比率，理解表达式较快的方法之一可以通过取极限：
当（环境容量），近似为1，即指数增长；
当，增长速度趋近于零，达到稳定状态。
3. 解法思路（变量可分离）
写成：
分离变量：
利用分式分解：
所以
中间过程就省略了，最终整理得标准逻辑斯蒂方程解：
其中 。
4. 曲线特征
S型曲线（sigmoid），先近似指数增长，
中期斜率最大（增长最快），
后期趋近稳定容量K。
****改进：****具体问题中引入更多的限制
1. 引入环境扰动与周期性变化
例如：周期性环境因子:季节之类的变化
增长率随时间变化，模拟季节或周期性环境影响。
2. 引入个体差异与结构
例如: 年龄结构/阶段结构
用分组或连续变量描述不同年龄/阶段的种群，常见如Leslie矩阵或偏微分方程，但本质上是将Logistic中的N拆解为多个分组（如 ），每组有不同的生存与繁殖率。
三、从N → N1,N2：两个物种------竞争与捕食模型(Lotka-Volterra)
两个物种最常见的两种关系是竞争与捕食，下面通过经典的Lotka-Volterra方程组来分析两种关系。
1. 竞争模型
假设两个物种竞争资源，数量分别为N1,N2，变成两个之后，
情况立马就复杂不少了，我们要考虑：对方种群(N2)对自身（N1）的影响
所以不妨定义：α，β是竞争系数，表示对方种群对自身的影响。
并且两个物种各自之间的各自的环境最大容量（资源极限）也不一样，我们定义为K1,K2
方程组：
两个方程耦合，描述种群动态的相互作用。
参数含义：
r1,r2：第1、第2种群的内在增长率，
K1，K2：各自的环境最大容量（资源极限），
α ：种群2对种群1的"竞争系数"，表示1单位的种群2对种群1的影响相当于多少单位的种群1自己，
β：种群1对种群2的竞争系数。
单独看N1的增长项：是逻辑斯蒂增长，表示种群1如果没有竞争者，增长会趋向K1。
αN2表示竞争的"压力"：种群2越多，种群1生存空间越小。
同理对另一个种群。
共存：两种群都稳定存在（相互影响但均有足够资源）。
竞争排斥：一个种群优势，挤压另一个种群直到灭绝。
不稳定平衡：种群数量敏感，轻微变化导致一方灭绝。
平衡点：设,
,求解平衡点（定态）： 可能有零种群、单一物种存活、或两种共存的平衡。
线性化稳定性分析：计算雅可比矩阵在平衡点的特征值，判断系统稳定性。 -
相平面分析：绘制N1与N2的轨迹，观察动态变化趋势。
2. 捕食-被捕食模型（Lotka-Volterra模型）
这个模型又可以用来描述捕食和被捕食
先举个具体例子：狼和鹿
狼和鹿在同一片草原上共存，会出现以下几个阶段：
1.猎物充足，捕食者开始受益
一开始，草原上鹿很多，因为草多，食物充足，鹿数量稳步增长。对于狼来说，鹿多的话，捕猎很容易成功。那么狼数量也增加。
2.捕食者过多，猎物被大量捕食
随着狼越来越多，它捕食的鹿也越来越多。鹿的死亡率上升，增长速度变慢，并开始下降。此时，鹿的总数达到了一个峰值后开始减少。
3.猎物短缺，捕食者陷入困境
由于鹿的数量已经被压得很低，狼群发现捕猎变得异常困难，经常饿肚子。没吃的数量肯定变低，因为食物短缺导致狼的幼崽存活率下降，成年狼也可能饿死或体质变弱，狼的种群数量开始急剧下降。
4.捕食者减少，猎物得到喘息
随着狼的数量减少到很低水平，对驯鹿的捕食压力大大减轻。幸存下来的驯鹿获得了宝贵的喘息机会，它们会迅速繁殖，种群数量又开始回升。
下面通过列方程组来描述一下以下过程：
假设捕食者为P(t)，被捕食者为N(t)，它们的关系：
其中
r ：被捕食者的自然增长率（无捕食时增长）,
a ：捕食率（被捕食者减少速度），被捕食者死亡率与捕食者数量的乘积比例系数
m ：捕食者的自然死亡率（无猎物时死亡）,
b：捕食者因捕食增加的增长率。
方程解读:
： rN：猎物自然繁殖，-aNP ：被捕食者被捕杀减少。
：-mP：捕食者自然死亡，bNP：捕食者因猎物增加而增长。
意义：
捕食者和被捕食者数量通常会出现周期性波动，
被捕食者多时，捕食者因食物充足数量增加；
捕食者多导致猎物减少，继而捕食者饥饿数量减少；
形成"振荡"现象。
平衡点：解得：
即平衡点在处。
四、从固定的K → 动态的R(t)：资源---消费者模型(Monod)
在前面讲的所有种群模型中，资源限制全是固定的参数，Logistic 模型中的承载容量 K、Lotka（洛特卡）-Volterra 竞争模型中的K1、K2，本质上都是将真实资源（食物、水、空间等）简化成了常数。这种处理虽然模型假设上简洁，却无法反映真实的资源再生与消耗过程。 在真实的自然生态系统中，资源是动态的：比如草被吃掉一点，雨水会再冲进来一点，植物死亡后又会分解一点......被消费者摄取后，可通过外界输入、生物再生或化学循环得到补充。因此，有必要将资源浓度作为独立的动态变量R(t)引入模型。
莫诺方程原来是描述蓝藻的，我们不按照蓝藻的比喻，因为具体建模问题中大概率遇不到这种细菌、真菌的题，我们举个动物的例子，设定越简洁越好理解，就举羊和草的例子，由logistic的基本形式开始推导，再看在这个基础上是怎么改的
在之前的Logistic、Lotka-Volterra等模型中，资源限制都是固定的常数（比如承载容量K），相当于假设"草量永远是某个固定值"。但现实草原上，草不是静止的：被羊吃掉一部分后，阳光、雨水、土壤养分会让草不断重新生长。因此，我们必须把草本身也当作一个会变化的动态变量。
记Kg：草自身的承载容量，表示"没有羊时草自己能长到的最大量"。
没有羊时候的草，按照logistic的写法，把物种数量N(t)换成环境容量R(t):
平衡时 dR/dt = 0 → R(1−R/Kg) = 0 → R* = Kg→ 没有羊时，草最终稳定在Kg
然后，有羊之后，就得减掉羊吃的草了
理解过程：
是饱和函数，质量比最大摄食速率，单位：(资源质量)/(消费者质量·时间)，
R → 0 时，μ(R) ≈ R/K_s → 0
- 当R → ∞ 时，μ(R) → 1
- 当R = Ks 时，μ(R) = 1/2
这个Ks的含义：
资源必须保持R > Ks才能让消费者种群持续增长，否则崩溃
如果放牧把草压到 < Ks，羊群第二年必然大幅下降
所以上述第一个表达式是
第二个式子：
其中e是草→羊转化效率，羊吃的草*e = 转化成羊增长的数量,只有按照e这个比例的真正转化为羊的生物量（剩下的是呼吸、粪便等损失）
d 是正常死亡率 ，整个式子就是：羊的数量增长 = 吃草转化羊的速率 -- 羊自然死亡的速率
上述三个重要方程组的讲解视频如下:（如果觉得视频有用，跪求三连）