数据结构---堆（Heap）

堆是计算机科学中核心的数据结构之一，基于完全二叉树构建，兼具高效的插入、删除和极值查询能力，广泛应用于优先队列、堆排序、TopK问题等场景。

一、堆的定义与核心性质

1.1 本质定义

堆是一种完全二叉树 （Complete Binary Tree），同时满足堆序性（Heap Property）。完全二叉树的定义是：除最后一层外，每一层的节点数均为最大值，且最后一层的节点从左到右连续排列（无空洞）。这种结构决定了堆可以用数组高效存储，无需额外指针开销。

1.2 堆序性规则

堆序性是堆与普通完全二叉树的核心区别，分为两种类型：

• 大根堆（Max Heap） ：每个父节点的值 大于等于 其左右子节点的值（parent.val ≥ left.val && parent.val ≥ right.val），堆顶（根节点）是整个堆的最大值。
• 小根堆（Min Heap） ：每个父节点的值 小于等于 其左右子节点的值（parent.val ≤ left.val && parent.val ≤ right.val），堆顶是整个堆的最小值。

1.3 与二叉搜索树（BST）的区别

堆和BST常被混淆，但核心目标完全不同：

特性	堆（大根堆/小根堆）	二叉搜索树（BST）
结构要求	完全二叉树	任意二叉树（通常平衡化）
有序性	仅父子节点满足堆序（全局无序）	左子树 < 根 < 右子树（全局有序）
核心操作效率	插入/删除堆顶 O(logn)，查极值 O(1)	插入/删除/查找 O(logn)（平衡BST）
适用场景	优先队列、TopK、堆排序	动态查找、有序遍历

二、堆的存储结构

由于堆是完全二叉树，无空洞节点，因此数组是堆的最优存储方式，无需额外空间存储指针。数组与二叉树节点的映射关系如下：

假设堆的数组为 vector<T> heap，对于索引为 i 的节点（从0开始计数）：

• 父节点索引：parent = (i - 1) / 2（整数除法，自动向下取整）
• 左子节点索引：left = 2 * i + 1
• 右子节点索引：right = 2 * i + 2

示例 ：小根堆 [2, 5, 3, 8, 7, 6] 对应的完全二叉树结构：

      2 (i=0)
    /   \
   5(i=1) 3(i=2)
  / \     /
8(i=3)7(i=4)6(i=5)

验证映射关系：i=1 的父节点是 (1-1)/2=0，i=2 的左子节点是 2*2+1=5，完全符合数组存储逻辑。

三、堆的核心操作（C++模板实现）

堆的所有功能基于两个核心操作：上浮（Sift Up） 和 下沉（Sift Down） 。下面实现一个支持大根堆/小根堆的通用模板类 Heap<T, Compare>，其中 Compare 是比较函数对象（默认大根堆）。

3.1 模板类框架

#include <vector>
#include <algorithm>
#include <stdexcept>

// 比较函数对象：大根堆（默认）
template <typename T>
struct MaxHeapCompare {
    bool operator()(const T& a, const T& b) const {
        return a < b; // 父节点需大于子节点，故a<b时需交换
    }
};

// 比较函数对象：小根堆
template <typename T>
struct MinHeapCompare {
    bool operator()(const T& a, const T& b) const {
        return a > b; // 父节点需小于子节点，故a>b时需交换
    }
};

// 堆模板类：T为元素类型，Compare为比较规则
template <typename T, typename Compare = MaxHeapCompare<T>>
class Heap {
private:
    std::vector<T> data; // 存储堆的数组
    Compare cmp;         // 比较函数对象

    // 上浮操作：从索引i向上调整堆
    void siftUp(int i) {
        while (i > 0) { // 未到达根节点
            int parent = (i - 1) / 2; // 父节点索引
            // 若当前节点与父节点满足堆序，无需调整
            if (!cmp(data[parent], data[i])) break;
            // 不满足堆序，交换父节点与当前节点
            std::swap(data[parent], data[i]);
            i = parent; // 继续向上调整
        }
    }

    // 下沉操作：从索引i向下调整堆
    void siftDown(int i) {
        int n = data.size();
        while (true) {
            int maxChild = i; // 初始化最大子节点为当前节点
            int left = 2 * i + 1;  // 左子节点索引
            int right = 2 * i + 2; // 右子节点索引

            // 比较左子节点与当前节点
            if (left < n && cmp(data[maxChild], data[left])) {
                maxChild = left;
            }
            // 比较右子节点与当前最大子节点
            if (right < n && cmp(data[maxChild], data[right])) {
                maxChild = right;
            }

            // 若当前节点已是最大/最小子节点，无需调整
            if (maxChild == i) break;
            // 交换当前节点与最大/最小子节点
            std::swap(data[i], data[maxChild]);
            i = maxChild; // 继续向下调整
        }
    }

public:
    // 构造函数：空堆
    Heap() = default;

    // 构造函数：从数组建堆（自底向上法）
    Heap(const std::vector<T>& arr) : data(arr) {
        buildHeap();
    }

    // 建堆操作：将无序数组转为堆
    void buildHeap() {
        int n = data.size();
        // 从最后一个非叶子节点开始，自底向上堆化
        int lastNonLeaf = (n - 2) / 2; // 最后一个节点的父节点
        for (int i = lastNonLeaf; i >= 0; --i) {
            siftDown(i);
        }
    }

    // 插入元素
    void push(const T& val) {
        data.push_back(val); // 插入到数组末尾（完全二叉树的最后一个叶子）
        siftUp(data.size() - 1); // 上浮调整堆
    }

    // 删除堆顶元素
    void pop() {
        if (empty()) {
            throw std::runtime_error("Heap is empty, cannot pop!");
        }
        int n = data.size();
        data[0] = data[n - 1]; // 堆顶替换为最后一个元素
        data.pop_back();       // 删除最后一个元素
        if (!empty()) {
            siftDown(0); // 下沉调整堆
        }
    }

    // 获取堆顶元素
    const T& top() const {
        if (empty()) {
            throw std::runtime_error("Heap is empty, cannot get top!");
        }
        return data[0];
    }

    // 判断堆是否为空
    bool empty() const {
        return data.empty();
    }

    // 获取堆的大小
    size_t size() const {
        return data.size();
    }
};

3.2 核心操作详解

3.2.1 上浮（siftUp）

• 场景：插入新元素后，堆序可能被破坏（新元素在叶子，可能不满足与父节点的堆序）。
• 原理：从新元素的位置（数组末尾）向上遍历，与父节点比较，若不满足堆序则交换，直到到达根节点或满足堆序。
• 时间复杂度：O(logn)（树的高度为logn，最多交换logn次）。

3.2.2 下沉（siftDown）

• 场景：删除堆顶后，堆序被破坏（最后一个元素移到堆顶，可能不满足与子节点的堆序）。
• 原理：从堆顶开始，与左右子节点中"符合堆序的极值节点"（大根堆找最大子节点，小根堆找最小子节点）比较，若不满足堆序则交换，直到到达叶子节点或满足堆序。
• 关键细节：需先判断左右子节点是否存在（避免数组越界），再选择极值子节点。
• 时间复杂度：O(logn)（树的高度为logn）。

3.2.3 建堆（buildHeap）

• 两种方法对比 ：
  1. 自顶向下法：逐个将数组元素插入堆，时间复杂度O(nlogn)（每个元素插入需O(logn)）。
  2. 自底向上法：从最后一个非叶子节点开始，逐个执行下沉操作，时间复杂度O(n)（核心考点）。
• O(n)复杂度推导 ：
  完全二叉树的第k层（根为第0层）有2^k个节点，每个节点的下沉深度最多为（树高 - k）。树高h = logn，总操作次数为：
  ∑k=0h−12k×(h−k)=O(n)\sum_{k=0}^{h-1} 2^k \times (h - k) = O(n)k=0∑h−12k×(h−k)=O(n)
• 代码逻辑 ：最后一个非叶子节点索引为(n-2)/2（最后一个节点n-1的父节点），从该节点向左遍历至根，依次执行siftDown。

四、堆的经典应用

4.1 堆排序（原地排序）

堆排序是堆的核心应用，利用大根堆（升序）或小根堆（降序）实现排序，时间复杂度O(nlogn)，空间复杂度O(1)（原地排序），但不稳定（相同元素可能交换位置）。

原理步骤：

1. 对数组执行buildHeap，构建大根堆（升序排序）；
2. 交换堆顶（最大值）与数组末尾元素，此时末尾元素为有序区；
3. 对剩余无序区（0~n-2）执行siftDown(0)，重新构建大根堆；
4. 重复步骤2~3，直到无序区为空。

C++实现：

// 原地堆排序（升序，基于大根堆）
template <typename T>
void heapSort(std::vector<T>& arr) {
    int n = arr.size();
    if (n <= 1) return;

    // 步骤1：构建大根堆（自底向上）
    Heap<T> maxHeap(arr);
    arr = maxHeap.getData(); // 简化：直接复用堆的数组（实际可原地修改）

    // 步骤2~4：交换堆顶与末尾，调整堆
    for (int i = n - 1; i > 0; --i) {
        std::swap(arr[0], arr[i]); // 堆顶（最大值）移到末尾
        // 对剩余无序区（0~i-1）执行下沉调整
        Heap<T> tempHeap(arr.substr(0, i));
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            arr[j] = tempHeap.getData()[j];
        }
    }

    // 优化版：原地建堆+调整（无需额外堆对象）
    /*
    // 原地建大根堆
    auto buildMaxHeap = [&](std::vector<T>& a, int size) {
        int lastNonLeaf = (size - 2) / 2;
        for (int i = lastNonLeaf; i >= 0; --i) {
            int parent = i;
            while (true) {
                int maxChild = parent;
                int left = 2 * parent + 1;
                int right = 2 * parent + 2;
                if (left < size && a[left] > a[maxChild]) maxChild = left;
                if (right < size && a[right] > a[maxChild]) maxChild = right;
                if (maxChild == parent) break;
                std::swap(a[parent], a[maxChild]);
                parent = maxChild;
            }
        }
    };

    buildMaxHeap(arr, n);
    for (int i = n - 1; i > 0; --i) {
        std::swap(arr[0], arr[i]);
        buildMaxHeap(arr, i); // 调整剩余无序区
    }
    */
}

// 测试代码
int main() {
    std::vector<int> arr = {5, 3, 8, 4, 2, 7, 1, 6};
    heapSort(arr);
    std::cout << "堆排序结果：";
    for (int num : arr) std::cout << num << " "; // 输出：1 2 3 4 5 6 7 8
    return 0;
}

4.2 优先队列（Priority Queue）

优先队列是堆的典型应用，元素按优先级排序，每次出队的是优先级最高的元素。C++ STL提供priority_queue，底层基于堆实现。

4.2.1 STL priority_queue详解

• 默认行为：大根堆（优先级高的元素值大）。
• 核心接口 ：push(val)（插入）、pop()（删除堆顶）、top()（获取堆顶）、empty()、size()。
• 改为小根堆的两种方式 ：
  1. 使用greater<T>（需包含<functional>）；
  2. 自定义比较函数对象。

4.2.2 示例：任务调度（按优先级执行）

#include <queue>
#include <functional>
#include <iostream>
#include <string>

// 任务结构体
struct Task {
    std::string name;
    int priority; // 优先级：数字越大越优先

    Task(std::string n, int p) : name(n), priority(p) {}
};

// 自定义比较函数对象（小根堆：优先级低的在前）
struct TaskCompare {
    bool operator()(const Task& a, const Task& b) const {
        return a.priority > b.priority; // 与大根堆相反
    }
};

int main() {
    // 1. 大根堆（默认，优先级高的先执行）
    std::priority_queue<Task> maxPq;
    maxPq.push(Task("任务A", 3));
    maxPq.push(Task("任务B", 5));
    maxPq.push(Task("任务C", 2));

    std::cout << "大根堆优先队列执行顺序：" << std::endl;
    while (!maxPq.empty()) {
        auto task = maxPq.top();
        maxPq.pop();
        std::cout << "执行：" << task.name << "（优先级：" << task.priority << "）" << std::endl;
    }
    // 输出：任务B（5）→ 任务A（3）→ 任务C（2）

    // 2. 小根堆（自定义比较函数）
    std::priority_queue<Task, std::vector<Task>, TaskCompare> minPq;
    minPq.push(Task("任务A", 3));
    minPq.push(Task("任务B", 5));
    minPq.push(Task("任务C", 2));

    std::cout << "\n小根堆优先队列执行顺序：" << std::endl;
    while (!minPq.empty()) {
        auto task = minPq.top();
        minPq.pop();
        std::cout << "执行：" << task.name << "（优先级：" << task.priority << "）" << std::endl;
    }
    // 输出：任务C（2）→ 任务A（3）→ 任务B（5）

    return 0;
}

4.3 TopK问题（海量数据前K大元素）

TopK问题是面试高频题，核心需求是从海量数据中快速找到前K个最大值（或最小值）。使用小根堆可实现O(nlogK)时间复杂度、O(K)空间复杂度。

原理（前K大元素）：

1. 构建一个大小为K的小根堆；
2. 遍历所有数据，若元素大于堆顶（当前K个元素的最小值），则替换堆顶并调整堆；
3. 遍历结束后，堆中元素即为前K大元素。

C++实现：

#include <vector>
#include <queue>
#include <iostream>
#include <random>

// 海量数据前K大元素（小根堆实现）
std::vector<int> topK(std::vector<int>& data, int k) {
    if (data.empty() || k <= 0 || k > data.size()) {
        throw std::invalid_argument("Invalid input!");
    }

    // 步骤1：构建大小为K的小根堆（用STL priority_queue，greater<int>）
    std::priority_queue<int, std::vector<int>, std::greater<int>> minHeap;
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
        minHeap.push(data[i]);
    }

    // 步骤2：遍历剩余数据，更新堆
    for (int i = k; i < data.size(); ++i) {
        if (data[i] > minHeap.top()) { // 比堆顶大，替换
            minHeap.pop();
            minHeap.push(data[i]);
        }
    }

    // 步骤3：提取堆中元素
    std::vector<int> result;
    while (!minHeap.empty()) {
        result.push_back(minHeap.top());
        minHeap.pop();
    }
    return result;
}

// 测试：生成1000个随机数，找前10大
int main() {
    std::vector<int> data;
    std::random_device rd;
    std::mt19937 gen(rd());
    std::uniform_int_distribution<> dis(1, 10000);

    for (int i = 0; i < 1000; ++i) {
        data.push_back(dis(gen));
    }

    int k = 10;
    auto topKResult = topK(data);
    std::cout << "前" << k << "大元素：";
    for (int num : topKResult) {
        std::cout << num << " ";
    }
    return 0;
}

4.4 中位数问题（动态数据实时获取中位数）

中位数是有序数组中间的元素（奇数长度取中间，偶数长度取平均）。对于动态插入的数据，使用两个堆（大根堆+小根堆）可实现O(logn)插入和O(1)查询。

原理：

1. 大根堆（leftHeap）：存储左半部分数据（≤中位数），堆顶为左半部分最大值；
2. 小根堆（rightHeap）：存储右半部分数据（≥中位数），堆顶为右半部分最小值；
3. 平衡条件：两堆大小差≤1（奇数长度时，大根堆多1个元素；偶数长度时，两堆大小相等）；
4. 插入逻辑 ：
   • 若元素≤大根堆顶，插入大根堆；否则插入小根堆；
   • 调整两堆大小，确保平衡条件；
5. 查询逻辑 ：
   • 奇数长度：中位数 = 大根堆顶；
   • 偶数长度：中位数 = (大根堆顶 + 小根堆顶) / 2。

C++实现：

#include <vector>
#include <queue>
#include <iostream>
#include <stdexcept>

class MedianFinder {
private:
    std::priority_queue<int> leftHeap; // 大根堆（默认）：存储左半部分
    std::priority_queue<int, std::vector<int>, std::greater<int>> rightHeap; // 小根堆：存储右半部分

    // 平衡两堆大小
    void balance() {
        // 大根堆比小根堆多2个，移一个到小根堆
        if (leftHeap.size() - rightHeap.size() == 2) {
            rightHeap.push(leftHeap.top());
            leftHeap.pop();
        }
        // 小根堆比大根堆多1个，移一个到大根堆
        else if (rightHeap.size() - leftHeap.size() == 1) {
            leftHeap.push(rightHeap.top());
            rightHeap.pop();
        }
    }

public:
    MedianFinder() = default;

    // 插入元素
    void addNum(int num) {
        if (leftHeap.empty() || num <= leftHeap.top()) {
            leftHeap.push(num);
        } else {
            rightHeap.push(num);
        }
        balance(); // 平衡堆大小
    }

    // 获取中位数
    double findMedian() {
        if (leftHeap.empty() && rightHeap.empty()) {
            throw std::runtime_error("No data!");
        }
        // 奇数长度：左堆多1个
        if (leftHeap.size() > rightHeap.size()) {
            return leftHeap.top();
        }
        // 偶数长度：两堆大小相等
        else {
            return (leftHeap.top() + rightHeap.top()) / 2.0;
        }
    }
};

// 测试
int main() {
    MedianFinder mf;
    mf.addNum(1);
    mf.addNum(3);
    std::cout << "中位数：" << mf.findMedian() << std::endl; // (1+3)/2=2.0
    mf.addNum(2);
    std::cout << "中位数：" << mf.findMedian() << std::endl; // 2
    mf.addNum(4);
    std::cout << "中位数：" << mf.findMedian() << std::endl; // (2+3)/2=2.5
    return 0;
}

五、堆的优缺点与适用场景

5.1 优点

• 极值查询（堆顶）：O(1) 常数时间；
• 插入/删除堆顶：O(logn) 高效；
• 存储紧凑：数组存储，无额外指针开销；
• 支持动态数据：适合元素频繁插入/删除的场景。

5.2 缺点

• 随机访问低效：需遍历数组，O(n)；
• 查找任意元素低效：O(n)；
• 堆排序不稳定：相同元素可能交换位置；
• 调整堆开销：插入/删除需维护堆序，比数组直接操作耗时。

5.3 适用场景

• 优先队列（任务调度、事件驱动）；
• 排序（堆排序）；
• TopK问题（海量数据前K大/小）；
• 中位数查询（动态数据）；
• 贪心算法（如霍夫曼编码、Prim最小生成树）。

六、常见误区与注意事项

1. 建堆时间复杂度：自底向上建堆是O(n)，而非O(nlogn)，面试高频考点；
2. STL priority_queue的坑 ：pop()不返回元素，需先top()再pop()；默认大根堆，小根堆需显式指定greater<T>；
3. 下沉操作的边界：必须判断左右子节点是否存在，避免数组越界；
4. 堆与BST的区别：堆是"父子有序，全局无序"，BST是"左小右大，全局有序"，切勿混淆；
5. TopK问题的堆选择：前K大用小根堆，前K小用大根堆，可最小化堆大小（O(K)）。

堆是基于完全二叉树的高效数据结构，核心优势在于O(1)极值查询和O(logn)插入/删除。掌握堆的关键在于理解"上浮"和"下沉"的维护逻辑，以及建堆的O(n)复杂度推导，这也是面试中的重点考察内容。在实际开发中，优先使用STL的priority_queue，但自定义堆实现能更深入理解其底层原理，应对复杂场景（如中位数查询、自定义比较规则）。

---

补充建堆的O(n)复杂度推导

∑k=0h−12k×(h−k)=O(n)\sum_{k=0}^{h-1} 2^k \times (h - k) = O(n)∑k=0h−12k×(h−k)=O(n)，核心是两步走 ：先算出求和式的精确值 ，再结合 hhh 与 nnn 的内在关系（通常来自二叉树场景），推导其时间复杂度量级。

一、第一步：计算求和式的精确值（错位相减法）

求和式 ∑k=0h−12k×(h−k)\sum_{k=0}^{h-1} 2^k \times (h - k)∑k=0h−12k×(h−k) 是典型的「等差×等比」数列求和（其中 2k2^k2k 是等比数列，(h−k)(h-k)(h−k) 是等差数列），适合用错位相减法求解。

步骤1：展开求和式，定义 SSS

设 S=∑k=0h−12k×(h−k)S = \sum_{k=0}^{h-1} 2^k \times (h - k)S=∑k=0h−12k×(h−k)，按 kkk 从 000 到 h−1h-1h−1 展开：
S=h×20+(h−1)×21+(h−2)×22+⋯+1×2h−1(1) S = h \times 2^0 + (h-1) \times 2^1 + (h-2) \times 2^2 + \dots + 1 \times 2^{h-1} \tag{1} S=h×20+(h−1)×21+(h−2)×22+⋯+1×2h−1(1)

（解释：当 k=0k=0k=0 时，项为 h×1h \times 1h×1；k=1k=1k=1 时，项为 (h−1)×2(h-1) \times 2(h−1)×2；...；k=h−1k=h-1k=h−1 时，项为 1×2h−11 \times 2^{h-1}1×2h−1）

步骤2：乘以等比数列的公比（此处公比为2）

将等式（1）两边同时乘以 222，得到 2S2S2S：
2S=h×21+(h−1)×22+(h−2)×23+⋯+1×2h(2) 2S = h \times 2^1 + (h-1) \times 2^2 + (h-2) \times 2^3 + \dots + 1 \times 2^h \tag{2} 2S=h×21+(h−1)×22+(h−2)×23+⋯+1×2h(2)

步骤3：错位相减，消去中间项

用（2）式减去（1）式，对齐同类项（核心是消去中间的 21,22,...,2h−12^1, 2^2, ..., 2^{h-1}21,22,...,2h−1 项）：
2S−S=[h×21−h×20]+[(h−1)×22−(h−1)×21]+⋯+[1×2h−1×2h−1] 2S - S = \left[ h \times 2^1 - h \times 2^0 \right] + \left[ (h-1) \times 2^2 - (h-1) \times 2^1 \right] + \dots + \left[ 1 \times 2^h - 1 \times 2^{h-1} \right] 2S−S=[h×21−h×20]+[(h−1)×22−(h−1)×21]+⋯+[1×2h−1×2h−1]

步骤4：化简右边表达式

提取每一项的公因子，中间项会形成等比数列：
S=−h×20+21+22+⋯+2h⏟等比数列求和 S = -h \times 2^0 + \underbrace{2^1 + 2^2 + \dots + 2^h}_{等比数列求和} S=−h×20+等比数列求和 21+22+⋯+2h

• 首项 −h×20=−h-h \times 2^0 = -h−h×20=−h（来自（2）式的首项减（1）式的首项）；
• 中间的等比数列：21+22+...+2h2^1 + 2^2 + ... + 2^h21+22+...+2h，共 hhh 项，公比 222，首项 222。

步骤5：计算等比数列的和

根据等比数列求和公式 S等比=a1⋅qm−1q−1S_{等比} = a_1 \cdot \frac{q^m - 1}{q - 1}S等比=a1⋅q−1qm−1（a1a_1a1 为首项，qqq 为公比，mmm 为项数）：
21+22+⋯+2h=2⋅2h−12−1=2h+1−2 2^1 + 2^2 + \dots + 2^h = 2 \cdot \frac{2^h - 1}{2 - 1} = 2^{h+1} - 2 21+22+⋯+2h=2⋅2−12h−1=2h+1−2

步骤6：合并得到 SSS 的精确值

将等比数列和代入 SSS 的表达式：
S=−h+(2h+1−2)=2h+1−h−2 S = -h + (2^{h+1} - 2) = 2^{h+1} - h - 2 S=−h+(2h+1−2)=2h+1−h−2

二、第二步：建立 hhh 与 nnn 的关系（关键前提）

求和式 ∑k=0h−12k×(h−k)\sum_{k=0}^{h-1} 2^k \times (h - k)∑k=0h−12k×(h−k) 通常来自二叉树场景 （比如平衡二叉树的路径长度之和、操作次数总和等），此时 hhh 是二叉树的高度 ，nnn 是二叉树的节点数。

对于平衡二叉树（或满二叉树，平衡树的极端情况），节点数 nnn 与高度 hhh 满足：
n=2h−1(满二叉树节点数公式：第1层到第h层，每层节点数为2k−1，总和为2h−1) n = 2^h - 1 \quad (\text{满二叉树节点数公式：第1层到第h层，每层节点数为} 2^{k-1}，总和为 2^h - 1) n=2h−1(满二叉树节点数公式：第1层到第h层，每层节点数为2k−1，总和为2h−1)

变形可得：
2h=n+1  ⟹  2h+1=2(n+1)=2n+2 2^h = n + 1 \implies 2^{h+1} = 2(n + 1) = 2n + 2 2h=n+1⟹2h+1=2(n+1)=2n+2

三、第三步：推导 S=O(n)S = O(n)S=O(n)

将 2h+1=2n+22^{h+1} = 2n + 22h+1=2n+2 代入 SSS 的精确值：
S=(2n+2)−h−2=2n−h S = (2n + 2) - h - 2 = 2n - h S=(2n+2)−h−2=2n−h

关键：分析 hhh 的量级

对于平衡二叉树，高度 hhh 是 对数级别 的：
h=log⁡2(n+1)≈log⁡2n(当n很大时，1可忽略) h = \log_2(n + 1) \approx \log_2 n \quad (\text{当n很大时，1可忽略}) h=log2(n+1)≈log2n(当n很大时，1可忽略)
log⁡2n\log_2 nlog2n 是低阶无穷小 （增长速度远慢于 nnn），例如：

• 当 n=106n=10^6n=106 时，log⁡2n≈20\log_2 n \approx 20log2n≈20，h≈20h \approx 20h≈20；
• 当 n=109n=10^9n=109 时，log⁡2n≈30\log_2 n \approx 30log2n≈30，h≈30h \approx 30h≈30。

用大O符号定义验证

大O符号的核心定义：若存在常数 C>0C>0C>0 和 n0>0n_0>0n0>0，当 n≥n0n \geq n_0n≥n0 时，S≤C⋅nS \leq C \cdot nS≤C⋅n，则 S=O(n)S=O(n)S=O(n)。

对于 S=2n−hS=2n - hS=2n−h：

• 因为 h≥1h \geq 1h≥1（树的高度至少为1），所以 S=2n−h≤2nS = 2n - h \leq 2nS=2n−h≤2n（对所有 n≥1n \geq 1n≥1 成立）；
• 取 C=2C=2C=2，n0=1n_0=1n0=1，完全满足大O定义。

因此，S=2n−h=O(n)S = 2n - h = O(n)S=2n−h=O(n)（低阶项 hhh 不影响增长趋势，主导项是 2n2n2n，与 nnn 同量级）。

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1. 求和计算 ：通过错位相减法，得到精确值 S=2h+1−h−2S=2^{h+1} - h - 2S=2h+1−h−2；
2. 关联 hhh 与 nnn ：平衡二叉树中，节点数 n=2h−1n=2^h -1n=2h−1，故 2h+1=2n+22^{h+1}=2n+22h+1=2n+2；
3. 量级分析 ：代入后 S=2n−hS=2n - hS=2n−h，其中 h=O(log⁡n)h=O(\log n)h=O(logn)（低阶项），主导项为 2n2n2n；
4. 大O验证 ：满足 S≤C⋅nS \leq C \cdot nS≤C⋅n，故 S=O(n)S=O(n)S=O(n)。

本质是：求和式的增长速度由 2h2^h2h 主导，而 2h2^h2h 与二叉树节点数 nnn 是线性关系（2h=n+12^h = n+12h=n+1），因此求和式最终是 O(n)O(n)O(n) 量级。