数据结构：算法复杂度

一、大O记法（O）

1.大O记法的定义

用于描述算法复杂度的数学符号，表示算法执行次数（时间复杂度）/额外开辟的空间（空间复杂度）随输入规模（n）增长的上界（最坏情况）。

简单描述就是输入规模为n时，算法最多可能执行多少次、最多会额外开辟多少空间。

2.大O记法的种类

• 常见的有O(1)（常数个），O(n)，O(n²)，O(logn)，O(nlogn)等。
• 一般来说，当算法复杂度达到n² 这个量级的时候，效率已经不高了。如果一个算法的复杂度达到n³这个量级，说明其效率极低，不宜使用，如果达到(2ⁿ)这种指数爆炸型的复杂度，那基本可以淘汰了（递归求斐波那契）。
• 在实现算法时，我们尽量降低时间复杂度，可以适当牺牲空间复杂度。

3.大O记法的原则

• 只保留最高次项：我们计算算法复杂度的时候，需要关注的是"规模"而非"准确值"。就像一个A是亿万富翁，B是百万富翁，他们就不是一个量级的，A只需要告诉B"我有一个亿"就够了，如果A说"我有一亿一千一百万零三十二块五毛钱"，反而多此一举。
• 忽略最高项系数：同上，我们只需要关注"规模"，管你有一百万两百万三百万，都是百万富翁，在亿万富翁面前没有什么区别。
• 取最坏情况：当满足一定情况的时候，一个时间复杂度为O(n)的算法可能1次就运行结束，难道它的时间复杂度会变成O(1)吗？并不是，因为我们关注的是最坏情况，某次情况的运行次数不会影响算法复杂度。
• 嵌套循环取乘积：当一个算法复杂度为O(n)的算法中嵌套了一个算法复杂度为O(m)的算法，那么整体算法的复杂度就是O(m*n)。
• 并列循环取最大：若算法中包含一个复杂度较高的分算法【O(x)】，还有一个复杂度较低的分算法【O(y)】，则总算法的复杂度取O(x)，即较高的那个。

二、时间复杂度

1.时间复杂度的定义

• 时间复杂度用来描述算法执行时间的量级，由于每台设备的硬件不同，运行时间也有差距，所以时间复杂度实际描述的是算法执行的次数。

2.时间复杂度计算的常见情况

• 如果算法中只有顺序语句，那么算法的时间复杂度为O(1)。
• 若有一个循环次数为n的循环，则循环运行n次，其他语句的时间复杂度为O(1)，可以忽略不记，算法复杂度为O(n)。
• 若有两个循环次数为n的循环并列，则两个循环共2n次，2n与n没区别，就像一百万和两百万都是百万富翁，所以时间复杂度还是O(n)。
• 若有一个循环次数为n的循环中间嵌套了一个循环次数为n的循环，则一共循环n²次，时间复杂度为O(n²)。
• 若有暴力枚举子集求和、递归求斐波那契的问题，则时间复杂度为O(2ⁿ)。
• 具体情况具体分析，核心是计算算法运行次数与问题规模n之间的关系。

三、空间复杂度

1.空间复杂度的定义

空间复杂度用来描述算法在过程中额外所需的存储空间（不包括输入数据本身）的量级，用以反映算法对内存资源的占用情况。

2.空间复杂度计算的常见情况

• 算法仅使用固定数量的临时变量，与问题规模n无关时，空间复杂度为O(1)。
• 需开辟与n成正比的临时空间，如拷贝数组、简单动态规划（一维dp数组）时，算法的空间复杂度为O(n)。
• 当出现如分治运算、递归二分查找、递归归并排序时，算法空间复杂度为O(logn)。
• 当出现如二维动态规划、邻接矩阵存储图时，算法的空间复杂度为O(n²)。
• 具体情况具体分析，核心是计算算法额外开辟空间与问题规模之间的关系。